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1、数学与工程应用,内容,滤波 空间矢量 数据统计和分析 拟合，矩阵与线性方程组 Allan方差,滤波器基础知识,滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换信号的系统。 滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。 滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下图）。 增益高的频率范围，称为滤波器的通带(pass band); 相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带(stop band)。 增益为最大值的1/sqrt(2) 0.707所对应的频率称为滤波器的截止频率。 由 增益(dB)=20(增益) 得到截止频率为-3dB。 截止频率用来定义滤波器的带宽。,低通,高通,低通与高通,带通与带阻,
2、带通,带阻,滤波器的串/并联,低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。,理想滤波器,理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器。,理想滤波器的物理不可实现,理想滤波器在时域内的脉冲响应函数 h（t）为 sinc函数。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限延伸。,给理想滤波器一个脉冲激励，在t=0时刻单位脉冲输入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理不可实现。,实际滤波器,理想滤波器是不存在的，实际滤波器幅频特性中通带和阻带间没有严格界限，存在过渡带。,0,f,A,实际滤波器,1)截止频率fc：0.707
3、A0所对应的频率 2)纹波幅度d：绕幅频特性均值A0波动值 3)带宽B和品质因数Q：下两截频间的频率范围称为带宽。中心频率和带宽之比称为品质因数 。,0,f,Q=W0 / B,模拟滤波器与数字滤波器,模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。 数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性强、使用方便、稳定性高。 信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。,数字滤波器的实现,数字滤波器的实现有两种主要的方式。 用滤波器的差分方程计算滤波器的输出。 利用卷积过程计算输出
4、。需要滤波器的脉冲响应。,差分方程,差分方程(difference equation)可以用来描述线性、时不变、因果数字滤波器。 滤波器的输出依赖于现在和以前的输入，也依赖于过去的输出。 差分方程为：,当a0 = 1 是：,当ak,bk 为权系数，又称为滤波器系数。,(1),递归滤波器与非递归滤波器,当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为递归滤波器(recursive filter)。式(1)给出了这类滤波器的一般表达式。 当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输出时，称其为非递归滤波器(nonrecursive filter)。式(2)给出了这类滤波器的一般表达式。,(2),卷积,离散
5、信号： 离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为： x(n)=x(1), x(2), x(3), 其中x(n)表示n时刻的采样值。 单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：,离散序列x(n)可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下：,卷积,线性时不变系统 我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性是：满足叠加原理和时不变性。 系统定义：输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算。 X(n) y(n) 线性系统:如果输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即 aX(n) ay(n) 时不变系统有如下特征：如果y(n)是系统对x(n)的响应，则y(n-m)是系统对
6、x(n-m)的响应，即 X(n-m) y(n-m),卷积,若输入为单位脉冲时，则其输出h(n)称为该系统的脉冲响应(impulse response)。即,当输入被延迟后，输出同样延迟，即,若输入的单位取样信号乘以一个常数，那么输出也会同样乘以该常数，即,一般地，输入信号可以表示为一系列延迟的单位取样序列的加权和，即,卷积,若该系统是因果系统，则响应y(n)不可能先于输入单位取样序列出现，因此必须满足n=m，即,作进一步的变换，令k=n-m，即,FIR滤波器,FIR滤波器 只存在有限个h(n),即,因此其系统函数如下：,优点： 1.系统只在原点处存在极点，这使得FIR滤波器具有稳定性。 2.F
7、IR滤波器具有线性相位，可以保证系统的相移和频率成正比，达到 无失真的传输。 缺点：1.滤波器的输入是采样值，具有量化噪声和混叠误差。 2.滤波器系数自身的量化误差，将改变滤波器的最终特性，副作用包 括滤波器阻带内的低衰减及通带内的纹波。,IIR滤波器,通用输入输出公式:,若|Pi|无穷大时，h(n)-0，系统稳定。 若|Pi|1,当n-无穷大时，h(n)-无穷大，系统不稳定。 IIR滤波器与FIR滤波器比较，具有相位特性差的特点，但是因为运算量小，所以也被广泛的采用。,卡尔曼滤波简介,4.什么是卡尔曼滤波： 卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线性最小方差估计的基础上，提出的在数学结构上比
8、较简单的而且是最优线性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时性高的优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状态，滤波效果非常好。,卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的 最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。,卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测实测修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。,卡尔曼滤波特点： 卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与预测的
9、有力工具之一，它不需存储历史数据，就能够从一系列的不完全以及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。,卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器，不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。,5.卡尔曼滤波器的软硬件实现 目前,卡尔曼滤波器已经有很多不同的实现形式。卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器。除此以外,还有施密特扩展卡尔曼滤波器,信息滤波器以及平方根滤波器。最常见的卡尔曼滤波
10、器是锁相环 ，采用FPGA硬件可以实现卡尔曼滤波器。,硬件实现：卡尔曼滤波器有良好的滤波效果，但由于其计算量大，当采样率高时，一个采样周期内难以完成计算，且计算机的字长有限，使计算中舍入误差和截断误差积累、传递，造成数值不稳定，因此用MCU和DSP难以实现。FPGA可以实现并行计算，它有多个乘法器和累加器并行处理数据，采用FPGA实现的卡尔曼滤波器，由于输入和输出数据计算同时进行，因此可以大大提高滤波速度。,软件实现： 許多物理进程，如路上行驶的車辆、围绕地球轨道运转的卫星、由绕组电流驱动的电机轴或正弦射頻載波信号，均可用线性系统來近似。线性系统是指能用如下两个方程描述的简单进程： 状态方程：
11、 输出方程：,在上述方程中，A、B和C均为矩陣，k是時間系数，x称为系統状态，u是系統的已知輸入，y是所測量的輸出。w和z表示噪音，其中变量w称为进程噪音，z称为測量噪音，它們都是向量。 则卡尔曼滤波的算法流程为：,1.预估计X(k)= F(k,k-1)X(k-1) 2.计算预估计协方差矩阵 3.C(k)=F(k,k-1)C(k)F(k,k-1)+T(k,k- 1)Q(k)T(k,k-1) 4.Q(k) = U(k)U(k) 5.计算卡尔曼增益矩阵 6.K(k) = C(k)H(k)H(k)C(k)H(k)+R(k)(-1) 7.R(k) = N(k)N(k),8.更新估计 9.X(k)=X(
12、k)+K(k)Y(k)-H(k)X(k) 10.计算更新后估计协防差矩阵 11.C(k) = I-K(k)H(k)C(k)I- K(k)H(k)+K(k)R(k)K(k) 12.X(k+1) = X(k) 13.C(k+1) = C(k) 14.重复以上步骤 该算法可用C语言编程，在计算机上实现。,6.卡尔曼滤波器的应用 卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研发的，目前已成功应用在許多领域中。卡尔曼滤波器主要用来預估那些只能被系统本身間接或不精確观測的系统状态。許多工程系统和嵌入式系统都需要卡尔曼滤波。,统计的基本概念,参数估计,假设检验,数据的统计描述和分析,一、统计量,二、分布函数的近似求法
13、,三、几个在统计中常用的概率分布,1,正态分布,密度函数：,分布函数：,其中,m,为均值，,为方差，,.,标准正态分布：,N,（0，1）,密度函数,，,分布函数,返回,F分布F（10，50）的密度函数曲线,参数估计,一、点估计的求法,(一）矩估计法,(二）极大似然估计法,二、区间估计的求法,1、已知DX，求EX的置信区间,2 未知方差DX，求EX的置信区间,(一)数学期望的置信区间,（二）方差的区间估计,返回,1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断.,对总体X的分布
14、律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.,假设检验,2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.,假设检验的一般步骤是：,（一）单个正态总体均值检验,一、参数检验,（二）单个正态总体方差检验,（三）两个正态总体均值检验,（四）两个正态总体方差检验,二、非参数检验,（二）概率纸检验法,概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型
15、.概率纸的种类很多.,返回,拟 合,2.拟合的基本原理,1. 拟合问题引例,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(x),i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1） 其中 a1,a2, am 为待定系数。,第二步:
16、确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。,记,问题归结为，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。,线性最小二乘法的求解：预备知识,超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组,超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。,如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程的最小二乘解。,线性最小二乘法的求解,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组 RTRa=RTy -正则（正规）方程组 的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题
