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1、数值分析 Numerical Analysis,第八章 常微分方程数值解法,郑州大学研究生课程 （2010-2011学年第一学期）,2/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,第八章 常微分方程数值解法,8.1 引言 8.2 欧拉(Euler)法 8.3 改进欧拉(Euler)方法 8.4 单步法的稳定性,3/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于圆柱形状容器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式,其中直径D为常数.由于体积
2、V与相对于容器底部的任意高度H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?,4/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.,H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17,根据上表的数据,可以拟合出倒葫芦形状容器的图,建立如图所示的坐标轴后,问题即为如何根据任意高度x标出容器体积V的刻度,由微元思想分析可知,5/69,郑州大学研究生2010-2011学
3、年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x),因此得到如下微分方程初值问题,只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题是函数D(x)无解析表达式,我们无法求出其解析解.,6/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知
4、函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。,7/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数) 偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数),8/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,同一个微分方程,具有不同的初始条件,9/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当x=0时,y=1,可得c=1特解,当x=0时,y=1,
5、可得c=-1特解,两边积分,通解,10/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。,11/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,解的存在唯一性
6、（“常微分方程”理论）：只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,12/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,解析解法：（常微分方程理论） 只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。,如何求解,13/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,14/69,
7、郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,15/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。,16/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0)出发, 作积分曲线y=y(x)在P0点
8、上切线 (其斜率为 ),与x=x1直线,相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为 当 时,得,这样就获得了P1点的坐标。,17/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 交直线x=x2于P2点,切线 的斜率 直线方程为,当 时,得,18/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当 时,得,由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得
9、一系列的点:P1,P1,Pn。对已求得点 以 为斜率作直线,取,19/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 。,这样,从x0逐个算出 对应的数值解,20/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,通常取 (常数),则Euler法的计算格式,i=0,1,n ( 8.2 ),21/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法
10、,还可用以下方法推导Euler格式： 数值微分 数值积分法,对微分方程的离散，可以有多种思路，但最基本的想法是“以直代曲”,22/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,(1) 用差商近似导数,差分方程初值问题 向前Euler方法,23/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,若用向后差商近似导数，即,向后Euler方法,24/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8
11、.2 欧拉(Euler)法,（2）用数值积分方法,25/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,若对积分用梯形公式，则得,梯形欧拉公式,26/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,例8.2.1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数,解: h=0.2, 欧拉迭代格式,当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.21(401)0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.
12、8，有 y(0.4) y2 =0.20.8(40.20.8)0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.4613,27/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,的解作为微分方程初值问题的数值解，即,以差分方程初值问题,28/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,29/69,郑州大学研究生2010-2011
13、学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,x0,x1,x2,x3,y0,h,h,h,欧拉折线法,30/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,解：Euler公式为,当h=0.5时,31/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当h=0.25时,32/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,0,0.5,0.75,1.0,1,0.25,h = 0.5,h = 0.25,33/69,郑州大
14、学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,34/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,局部截断误差,称为局部截断误差,35/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,定义 若给定方法的局部截断误差满足 则称该方法是 P 阶的，或称为具有 P 阶精度。,36/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Nu
15、merical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,整体截断误差,37/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,38/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,由此知，当,39/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,注,整体截断误差与局部截断误差的关系：,40/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式,隐式欧拉法或向后欧拉法 /* implicit Euler method or backward Euler method*/,隐式或后退欧拉公式,41/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧
