[数学]材料力学能量法新

《[数学]材料力学能量法新》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学]材料力学能量法新（102页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第十三章 能量方法,大纲要求 一.掌握弹性体的外力功和杆件基本变形能的计算方法。 二.了解两个互等定理。 三.能应用功能原理计算位移。 四. 熟练运用卡氏第二定理计算位移。 五.熟练运用单位载荷法与图乘法计算位移。,131 概 述,一.能量法：,利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,二.能量法的应用范围：,（1）线弹性体；非线性弹性体,（2）静定问题；超静定问题,（3）是有限单元法的重要基础,三.功能原理在弹性变形中的应用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变

2、为功。 四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内) 1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功：,这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。,13-2 杆件应变能计算,一、轴向拉伸和压缩,二、扭转,当T=T(x)或截面变化 A=A(x)时，可取微段：,三、弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内) 一个力 P 在其产生的

3、位移 d 上做的功：,这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。,使用广义力、广义位移的概念，则,例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,解：,例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。,解：,例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中

4、力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。,解：,13.3 变形能的普遍表达式,一.一般情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能 随意叠加。 二.克拉贝依隆原理,若弹性体上作用着n 个广义力Pi，则Pi对应的广义位移di 不仅与Pi有关，与n个力可能都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无 关，所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序“比例加 载”，即：各力从零开始同时按比例增加，最后同时到达终 值；在线性结构的条件下，此时各力的作用点的相应位移 与各力保持线性关系。,各力按比例b增长,则当b有一

5、增量db时,外力所作的总功为,根据功能原理，应有,对组合变形而言，应变能为,其中,积分可得总变形能,13.4 互等定理 力在其它力引起的位移上所 做的功之间的关系,一.功的互等定理 1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。 2.功的互等定理： Pidij = Pjdji 推广：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于 第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。,二.位移互等定理 若 Pi = Pj (仅指数值相等) ，则由功的互等定理可得： dij = dji (仅数值相等),两组力Pi,Qi,单独作用Pi组力,该组力所作的功为,后作用Qi组力,该组力所作的功为,作用Qi组力

6、时, Pi作用点产生新的位移，所作的功为,总变形能为,改变加力次序，先作用Qi组力,该组力所作的功为,后作用Pi组力,该组力所作的功为,作用Pi组力时, Qi作用点产生新的位移，所作的功为,总变形能为,显然，U1=U2 ，得,功的互等定理:,第一组力在第二组力施加时所产生的位移上所作的功等于第二组力在第一组力施加时所产生的位移上所作的功,位移互等定理,当仅作用两个力P1和P2时,若P1作用时P2作用点沿P2作用方向产生的位移为d21,而P2作用时P1作用点沿P1作用方向产生的位移为d12 ,则 P1 d12= P2 d21,若P1 = P2,则,d12= d21,此即位移互等定理,也即:载荷P

7、作用于A点时在B点产生的位移等于载荷P作用于B点时在A点产生的位移,例,装有尾部顶针的车削工件可简化为静不定梁。利用互等定理求解,解,第一组力P、RB 第二组力X=1,在X=1作用下，P及RB作用点的位移为,第一组力在第二组力作用时引起的位移上所作的功为,由功的互等定理，该功应为零,最后得,135 卡氏定理,1.卡氏第一定理,设图中材料为非线性弹性体，,由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则应变能的变化为：,因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d

8、i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：,注意到上式与下式在数值上相等,从而有：,（卡氏第一定理 ）,注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。,卡氏（第二）定理,由于通常不知道位移函数，因而卡氏第一定理不很有用,设Pi有一增量D Pi ，其它各Pj不变，则Pi的增量D Pi所作的功为D Pi Ddi /2，其它各Pi所作的功为Pi Ddi (i=1,2,n),D Pi Ddi /2相对于其它各功的分量为高阶微量，可忽略,将P1, P2, , Pn看作第一组力, D Pi看作第二组力,由功的

9、互等定理,有,所以有,D U = di D Pi,因此,取极限得,常见情况的卡氏定理 1.梁与刚架 (以弯曲为主),2.桁架 (以拉压为主),注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 仅适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。,实际计算时，常采用以下更实用的形式：,卡氏定理的应用 1.计算刚架上一点的位移。 2.数值载荷的位移计算：先用载荷变量 Pi 计算变形能，求导后再代入具体数值进行计算。 3.计算无载荷作

10、用处的位移：先在需计算位移处加上一个虚设的相应的载荷(广义力)，计算变形能，求导后再令此虚设的载荷为零。 4.在不同处有相同载荷作用的情况：令需计算位移处的载荷为另一个变量名，计算变形能，求导后再恢复原变量名。,例 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。,例 图示桁架结构。已知：F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpa。求A点垂直位移。,例 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布荷载q作用，如图a 所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。,解：,在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b),各支反力

11、如图b。,AB段弯矩方程：,由卡氏第二定理得：,结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。,BC段弯矩方程,例 求图示刚架B截面Bx, By。,解：（1）求Bx：,（2）求By ：,例 图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移和相对转角。 。,解：,1、张开位移,所以,2、相对转角：,Mf,Mf,13.6 虚功原理,一：虚位移,满足约束条件及连续条件的微小可能位移,虚位移通常不是由于施加的载荷引起的真实位移，但也可以是。 真实载荷不会因虚位移而改变。,二：外力的虚功 虚

12、设外力在真实位移上所做的功 (或真实外力在虚位移上所做的功)，记为： P*d 或 Pd * 。,三.虚变形能 由虚设外力引起的虚内力在杆件微段的真实变形上所做的功之和 (或真实内力在由虚位移引起的虚变形上所做的功之和)，记为：,或：,四.虚功原理 外力虚功之和 = 虚变形能,We=Wi,设载荷P1,P2,Pn ,q作用点的虚位移为n1*,n2*, , nn* , n*(x)则外力的虚功为,内力的虚功,内力N,T,M,Q不因虚位移而改变。 各内力分量相互独立,因而可叠加。,内力的虚功,微段虚位移 刚体虚位移和变形虚位移,内力在刚性虚位移上不作功！,内力在变形虚位移上所作的功为,式中dq, dl,

13、 dd, df见右图,虚功原理,虚功原理适用于非线性材料,例,求各杆内力。三杆EA相同且线弹性。,解,n,A点的真实位移只能沿P的作用方向。设为n,则,设A点的虚位移为dn,也沿P的方向，则外力的虚功为,We=P dn,内力的虚功为,Wi=N1dn+ 2N2dn cosa,根据虚功原理,We=Wi,有,解得,最后得,13.7 单位载荷法 莫尔积分,一.单位载荷法 在需计算位移处加一个虚设的单位载荷 “1”，则由虚功原理此单位载荷的虚功( 1D )应等于相应的虚变形能，由此可以计算出所需的位移。 即：,此即单位载荷法的基本方程； 其中： ，是虚设的单位载荷引起的虚内力； D 是所求的真实位移，D

14、 l、q、l、f 是真实的变形。 对于具体结构，往往只需计算右端的个别项!,二.莫尔定理 1.对于线弹性杆件，有：,其中，M、N、T 是真实载荷引起的真实内力。 所以，由单位载荷法有：(一般杆件中剪力影响可不计),此即“莫尔定理”，是单位载荷法在线弹性结构中的具体形式 ；其中的各个积分又叫做“莫尔积分”。,二.莫尔定理在不同变形杆件中的形式 1.梁 (不计剪力对位移的影响),2.桁架,3.刚架 (不计剪力对 位移的影响),4.弯扭组合变形的轴,三.用单位载荷法(莫尔定理)解题的注意事项 1.用虚功原理时有一实一虚两套物理量，此处是： (1)虚设的载荷系统：单位载荷虚反力虚内力； (2)真实的位

15、移与变形：真实位移与真实内力产生的变形。 2.在分别写出真内力与虚内力表达式时，两者所用的坐标系要相同，内力正方向规定要一致。 3.积分时要注意按内力函数区间与截面刚度分段处理。 4.最后根据计算结果(虚功)的正负号确定位移的方向(与虚设的单位载荷同向或反向)。,例 用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,L,A,B,y,x,C,q,一、求C点挠度,例 在均布荷载作用下的简支梁，EI=常量。试用莫尔定理计算梁中点C的挠度及B截面的转角。,解：1）建立坐标系如图，列M（x）方程,x,y,L,A,B,x,q,2）在C点加单位力，列,y,x,A,B,C,3)求中点C挠度：,x,y,x,A,C,二、求B截面的转角： 在B端加单位力偶,B,列单位力偶作用下的弯矩方程,x,a,a,P,A,B,C,解：一、不计轴力、剪力影响,2）在A处加单位力：P0=1,1)列刚架弯矩方程：,EI1,EI2,x1,x2,C,例 图示钢架。若1）不计轴力、剪力影响； 2）考虑轴力影响， 计算A点垂直位移y及B截面转角B,由莫尔定理：,二、考虑轴力影响,P0=1,A,B,x1,x2,C,AB:,NAB=0,NAB=0,BC:,NBC=-P,NBC=-1,在A处加水平单位力：P0=1,故A点总的垂直位移：,三、计