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1、第2章 拉格朗日方程,内容: 基本概念 理想完整系的拉格朗日方程 对称性和守恒定律 重点: 完整保守系的拉格朗日方程 难点: 拉格朗日方程的推导,牛顿力学理论几乎都以力 为基础，因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较烦琐。18世纪伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发展了经典力学的分析形式。1788年拉格朗日发表了名著分析力学，建立了经典力学的拉格朗日形式，用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，将力学的研究和应用范围开拓到整个物理学。,2.1 分析力学的基本概念 2.1.1 约束、自由度 （1）约束,微分约束通过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。,（2）自
2、由度,能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目，称为体系的自由度。,例如一质点在空间运动时其位置需要三个独立的坐标参量表示，自由度为3；约束（限制）在一平面上运动时，自由度为2；约束在一直线上运动时自由度为1。,一个由n个质点组成的力学体系受k个完整约束时，其约束方程为,； j=1，2，k， （2.3）,2.1.2 位移理想约束 （1）虚位移和实位移,自由度为 S=3n-k （2.4）,（2）理想约束,则体系所受的约束称为理想约束。例如光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、不可伸长的杆或绳等都是理想约束。,（3）广义坐标,建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标确
3、定了，体系在空间的位形（体系的位置状态）就确定了。 广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。 广义坐标的条件是：互相独立；满足约束方程；唯一确定体系的位形式动力学状态。,用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程，可以直接由牛顿第二定律导出。,（1）达朗贝尔方程,给质点i以虚位移 ，得,对整个质点系,（2.6）,上式称为达朗贝尔（dAlembert）方程，是理想约束体系动力学普遍方程。 思考：达朗贝尔方程的优点和不足之处是什么？,（2）拉格朗日方程,消去达朗贝尔方程中的虚位移 ，并用广义坐标表出的体系的动力学方
4、程即是拉格朗日方程。, 求虚位移,是位矢 的变分，运算规则是：算符作用在空间坐标 上时与微分算符d的运算规则一样，作用在时间t上则为零，即t=0。,在理想约束条件下，有,（2.7）,将（2.8）式代入（2.6）式：,因,是独立的，所以,（2.9）,第二项,（2.10）,为广义力,（2.11）,（2.12）,体系动能,（2.13）,上式为理想完整系的拉格朗日方程。其中：,主动力的广义力，可以是力、力 矩或其 他力学量（不包含约束反力）,体系相对惯性系的动能,广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量,（3）保守体系的拉格朗日方程,想一想：（2.17）式的成立、适用条件是什么？,为拉格朗日函数，是表
5、征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。,（4）对拉格朗日方程的评价,拉氏方程的特点（优点）：, 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。, 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。, 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。,拉氏方程的价值,拉氏方程在理论
6、上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。,2.3 拉格朗日方程的应用,解：（1）求运动规律,体系的自由度为1，以r为广义坐标，拉格朗日函数为,（1）,例1 转动杆上质点的运动,上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设,（3）,是（2）式的一个特解，将（3）式对t求二次导数，得,（4）,代入（6）式，得质点的运动规律,（7）,（2）求约束反力,（9）式代入（8）式得约束反力,例2 平面上的约束质点的运动,教材P.45 例4,解
7、：（1）求体系质点的L函数，运动方程及其解,质点的自由度为1，选取图中的角为广义坐标，则,（2）,（2.18）,（2.18）和（2.19）式即是体系的拉格朗日平衡方程。,例3 求体系的平衡位置,教材：P.46 例1,解：体系自由度：2，广义坐标：,所以,例4 求体系平衡时所受的力,教材:P.48 例3,解:本题要求的是体系平衡时杆AO和 BO所受的约束力.由于拉氏方程不出现约束,力，故不能直接应用拉氏方程求约束力。但如果 去掉约束条件，增加一个自由度，把相应的约束 力当作主动力，则仍可应用拉氏方程求解约束力。,如图2.6所示,体系自由度为1,广义坐标为,广义力,例5 带电粒子在电磁场中的拉氏函
8、数(教材*2.5),解：（1）带电粒子在电磁场中拉氏函数的一般式,（1）,的形式，式中函数,（2）,因此，仍可得到保守系的拉氏方程,（4）,根据电磁理论可以导出带电粒子在电磁场中的广义势和拉氏函数分别为,为电磁场的标势。,（2）本例中相应的矢势和标势为,拉氏函数,（7）,（8）,（7）、（8）、（9）式即为粒子的运动微分方程。,（9）,2.4 对称性和守恒定律,2.4.1 运动积分,拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组，在某些特殊条件下方程的部分第一积分（运动积分）很容易求得。,于是得到一个运动积分,（2.20）,（2）广义能量积分,或,从而得到另一个运动积分,（2.21）,体系的动能,其中,所
9、以,（2.22）,H称为广义能量。,2.4.2 对称性与守恒量的关系,运动积分有二类，一类具有可加性，另一类不具有可加性。具有可加性的运动积分称为守恒量。,具有可加性的运动积分的不变性和时空的基本性质时空对称性（即时空的均匀性和各向同性）相联系。,（2.27）,由于坐标轴原点和方向的任意选取不引起时间的变化（t=0），所以,（1）空间均匀性导致动量守恒,（2）空间各向同性导致角动量守恒,则L函数改变,可见,（3）时间均匀性导致能量守恒,2.5 解题指导,拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。,（1）用拉氏方程解题的步
10、骤, 分析体系的约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程的条件；, 判定体系的自由度，选取适当的广义坐标；, 写出体系的动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成,和t函数：,；, 将L代入拉氏方程，得出体系的运动微分方程；, 解方程并讨论。,在半径为R的光滑圆环上穿有一质量为m的小球，圆环以恒定角速度绕竖直直径转动。求小球的运动微分方程。,（2）范例,例1 质点在旋转圆环上运动,解：小球在随圆环转动坐标系中自由度为1，以为广义坐标，其动能和势能为,L函数,代入L方程，得运动微分方程为,例2 移动的摆杆,如图2.9所示，均质杆AB长为b，质量为m，光滑斜面的倾角为，滚轮A的质量忽略不计。试用拉氏方程建立系统的运动微分方程。,解：自由度=？如何选取广义坐标？,动能,势能（O为零势能位置）,L函数,代入拉氏方程，得,例3 约束单摆的运动,如图2.10所示，摆长为l质量为m1的单摆可在竖直平面内摆动。另一质量为m2小球置于半径为R的半圆形底座上，并套 在单摆的OA杆上，可沿OA自由滑动。假设m1和 m2可视为质点，OA杆的质量及一切摩擦忽略不计。 求单摆的运动微分方程及微振动周期。,解：体系的自由度、为广义坐标、约束方程为何？,如图，有,上式即所求的体系微振动微分方程，式中,为圆频率，微振动周期为,
