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1、2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第1页,102教学计划,第8章多元函数微分,18学时,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第2页,第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第3页,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第4页
2、,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取得极值.,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第5页,定理2 (充分条件),若函数,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,时, 具有极值,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P65) . 这里略,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,2011年3
3、月,D8_8极值与最值,总26页 第6页,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,解方程组,的极值.,得4个驻点:,(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,求二阶偏导数,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第7页,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第8页,例3.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,
4、为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第9页,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第10页,例3.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸
5、时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第11页,例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第12页,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第13页,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第
6、14页,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第15页,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第16页,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
7、,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第17页,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第18页,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第19页,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料
8、最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第20页,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第21页,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,
9、点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第22页,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第23页,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2. 求平面上以,2011年3月,D8_8极值与最
10、值,总26页 第24页,6在两个曲面,的交线上，求到原点最长和最短的距离。,解：设两曲面的交线,上任一点为M(x,y,z),则点M到原点的距离为,问题可归结为求条件极值,构造函数,解方程组,得,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第25页,代入函数中,由几何问题确实存在最大值和最小值.,所求的最短距离为,最长距离为,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第26页,7.某企业生成甲,乙两种产品,其销售单价分别为10万元/件、 9万元/件,若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为,(万元),又已知两种产品的总产量为100件,试建立这一问题的 数学模型,并分析两种产品的产量各为多少时
11、企业获得最大利润.,解：设收益函数为G(x,y),则,G(x,y)=10x+9y,利润总收益总成本，利润函数记为L(x,y),那么,这一问题的数学模型应为求函数,且x+y=100,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第27页,这是条件极值问题，构造函数,解方程组,得驻点(70,30)因为这是实际问题存在最大利润,又有唯一驻点，因此当x=70,y=30,有最大利润。,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第28页,总习题8,17.求平面,和柱面x2y21的交线上与xy平面距离最短的点,解 设M(x y z)为平面和柱面的交线上的一点 则M到xOy平面,的距离为d(x y z)|
12、z|,问题在于求函数f(x y z)|z|2z2在约束条件,和x2y21下的最小值,作辅助函数,令,解方程组得,因为可能的极值点只有,这一个 所以这个点就是所求之点,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第29页,提示: 由题设,例1. 已知函数,(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.,则( ),的某个邻域内连续, 且,A,(考研),2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第30页,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简
13、单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第31页,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第32页,8-8多元函数极值 作业 P61 (2011.3.23) 2, 3, 4, 8, 9, 10,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第33页,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第34页,13函数,的极小值为,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第35页,2011年3月,D8_8极值与最值,总26页 第36页,2在椭圆,上求一点，使其到直线,的距离最短。（94考研）,
