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1、以下讨论都是在模型某一个假定条件违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分以下几步骤。 回顾假定条件是什么。 假定条件不成立的来源与后果。 假定条件是否成立的定性分析与假设检验（定量判断）。 假定条件不成立时的解决方法。 要用到多元线性回归模型中的矩阵表达方式。,第5章 异方差,异方差概念 异方差来源与后果 异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验） 异方差的解决方法（GLS、WLS） 异方差案例分析,5.1异方差概念,同方差假定：模型的假定条件给出误差项的方差协方差矩阵Var(u) 即E(u u )是一个对角矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等
2、。 Var(u) = E(u u ) = 2I = 以截面数据为例，看如下散点图：,5.1异方差概念,当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = = 2 2 I 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。 异方差通常有三种表现形式，(1)递增型，(2)递减型，(3)复杂型。, 2是 12 , 2 2中的最小值,5.2 异方差来源与后果,异方差来源： (1) 截面数据中的异方差常由解释变量变动幅度较大造成的。 (2)
3、时间序列数据也会存在异方差(随着时间增加变量波动幅度增加)。经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。 (3) 金融时间序列中的异方差常表现为复杂型异方差(自回归条件异方差)。,同方差 异方差,假设条件,期 望,真实方差,样本方差 (随机变量),异方差情形下OLS得到的不再是方差的无偏估计量,异方差情形下 不具有最小方差,模 型,最小二乘估计,小于,5.2 异方差来源与后果,异方差后果： (1) 参数估计量丧失有效性,(2) 显著性检验和置信区间不可靠,在异方差的情况下，OLS方法得到的矩阵 主对角元素不再是真实方差的无偏估计量，且有可能高估或者低估参数估计量真实的方差，从而导致系数的置信区间和
4、假设检验结果不可信赖。 例如当低估真实方差时，参数显著性的 t 统计量会偏大，从而倾向于拒绝原假设，即误认为参数是显著的。同理，置信区间也不值得信赖。,同方差下的真实方差值,异方差下的真实方差值,原方差的无偏估计量， 是一个随机变量,5.3 异方差的定性判断,(1) 宏观经济变量容易出现异方差。 (2) 利用散点图做初步判断（以截面数据为例，见下图）。 (3) 利用残差图做初步判断（以截面数据为例，见下图） 。,散点图 残差图,RESID,x,5.4 异方差检验,(1) Goldfeld-Quandt 检验 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 把原样本分成两个子样本。
5、具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）,5.4 异方差检验,用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于n2 和n1 分别用SSR2 和SSR1表式。 构造F统计量。F = ，（k为模型中被估参数个数） 在H0成立条件下，F F(n2 - k-1, n1 k-1) 判别规则如下， 若 F F (n2 - k-1, n1 - k-1), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F F(n2 - k-1, n1 - k-1), 拒绝H0（递
6、增型异方差） 注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型异方差。 对于截面样本，检验前必须先把数据按解释变量的值排序。,(2) White检验 White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。 yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut 首先对上式进行OLS回归，求残差 。 做如下辅助回归式， = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用
7、 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。,5.4 异方差检验,用每一期残差的平方代表每个误差项的方差,用以上解释变量的形式代表各种各样的异方差。,在同方差假设条件下，统计量 TR 2 2(5) 其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数项）。 判别规则是 若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）,5.4 异方差检验,White检验的零假设和备择假设是 H0：ut不
8、存在异方差， H1：ut存在异方差。,5.4 异方差检验,(3) Glejser检验（直接拟合法）,+ vt ,+ vt ,+ vt ,.,5.5 异方差的解决方法,1、广义最小二乘法（GLS）,用M左乘上述回归模型两侧得,找到M,左乘模型两边,已知,新模型回归,2、可行的广义最小二乘法（FGLS）,要计算GLS估计值，我们必须知道 矩阵。而实际问题中 矩阵极少为已知。我们要想办法得到一个可行 的 再应用GLS法，这种方法称为可行广义最小二乘法(Feasible Generalized Least Squares, FGLS)。由于FGLS法的核心是得到 矩阵的估计量 ，因此亦称为估计的广义最
9、小二乘法(Estimated Generalized Least Squares, EGLS)。则参数的可行广义二乘估计量为 如通常可以假设扰动项方差与某个解释变量的平方成正比，就可以采用FGLS法。,用矩阵进行计算往往比较复杂，实际上，对于如上所示的异方差情形，用xt 序列除模型两侧同样可以消除异方差。下面举例说明。,(1),找到M,左乘模型两边,用M左乘上述回归模型两侧得 MY=MX+Mu,确定,新模型回归,(2),对于上述异方差形式，用xt1除模型两侧同样可以消除异方差。,相当于找到M并左乘模型（证明略）,我们的目的是通过加权最小二乘法得到原模型中参数估计量 的最佳线性无偏估计量！,（3
10、）利用Glejser检验结果消除异方差 适用于方差的表达式是更加一般的情形,上例中，假设,Glejser,检验结果是,|,|,=,+,x,t,则将异方差形式简单的看作,用xt,除原模型各项,则,消除,了异方差。,OLS估计后,，把回归参数的估计值代入原模型。,同理，若Glejser检验得到,则说明,因此应该用,进行加权。,用每一期残差的平方代表每个误差项的方差,我们用一元线性回归模型对怀特方法作一说明。在异方差的情况下，仍采用OLS法估计参数，参数估计量仍具有无偏性和一致性。这时 的方差是 当存在异方差时，如果仍用 代替上式中的 来计算参数估计量的方差，则存在两个问题。第一，它用的不是方差的正
11、确公式；第二，存在异方差的情形下，诸 是不同的，而OLS方法只估计出一个 ，不能给出每个 的估计量。,3、White异方差的一致性估计方法(不讲),怀特的方法是在上式中用 取代 ，这里 是第i个OLS残差，即,请注意，怀特得到的是参数估计量方差的一致估计量，它是 的加权平均。并不能得到每个 的一致估计量。利用 ，我们可以计算出相应的 t 统计量值和置信区间，从而改善了其可信度。,也就是说，当存在异方差时，可以采用一个一致估计量代替原估计量。这类估计量的性质不是无偏的，但它是一致的，对于异方差的情形可以应用，因此称为稳健估计量（robust estimators）。 与我们前面介绍的FGLS法相
12、比，White的解决异方差性的方法的优越之处在于，不需要知道异方差性的具体形式。即仍采用OLS法估计系数，而采用其异方差的一致估计量。,EViews操作：先点击Quick，选择Estimate Equation，再击Options，从下拉菜单中选其中的一个选项White，即可得到诸方差的异方差性一致估计值和相应的稳健t值。,4、通过对数据取对数消除异方差 (多用在时间序列数据中),中国进出口贸易额差（1953-1998） 对数的中国进出口贸易额之差,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配收入（X）模型file:li-5-1,本例中数据已经按照解释变量x由小到大排序。,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配
13、（X）收入模型,Goldfeld-Quandt 检验,去掉中间9个观测值。 用第1个子样本回归： ，SSE1=150867.9 用第2个子样本回归： ，SSE2=966997 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 构造F统计量。 因为F =6.4 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。,EViews中没有直接的菜单操作，需要自己按照下面的步骤手动回归和计算。注意要先排序。,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配收入（X）模型,White检验的EViwes操作：在回归式窗口中点击View键选Residual Tests/ White Heteroskedastic
14、ity 功能。 (含有无交叉项两种选择。),White检验,White检验式,解决异方差：加权估计（WLS）方法（1）,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,点击此处,填入权数,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,加权估计（WLS）方法（1）：计算机进行加权并直接输出最终结果。,最终估计模型为,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,加权估计（WLS）方法（2）: 手动用加权变量回归,自己把回归式还原为Y对X回归情形。 若不考虑异方差估计结果是0.088，WLS估计结果是0.09，0.09的统计特性更好。,输出结果为： 则最终估计模型为：,例5.1 个人储蓄（Y）
15、与可支配（X）收入模型,White异方差的一致估计方法,参数估计量与OLS一样。,标准差的计算运用white一致估计量。,（不讲）,对于截面数据一定要先按解释变量排序才有可能从残差图中观察到异方差,案例(hete01,hete02)：取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (-0.6) (12.4) R2 = 0.85, T = 29,残差图中看不到异方差（左图）。原因是没有把数据按解释变量排序。数据排序并估计后得到的残差图明显存在异方差（右图）。,对OLS回归残差进行White 检验，表明存在异方差。下面体会通过对y和x取对数消除异方差。观察散点图不存在异方差。进行OLS回归如下：,Log( yt) = -4.18 + 0.96Log( x
