计算理论第4章图灵机

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1、1,第4章 图灵机,许桂靖 杨 莹,2,Overview,图灵机（Turing Machine，TM），是计算机的一种简单的数学模型。 历史上，冯诺曼计算机的产生就是由图灵机诱发的。 丘奇图灵论题：一切合理的计算模型都等同于图灵机.,3,类型 文 法 结 构 产 生 式 形 式 限 制 条 件,0 短语结构文法 +,* Phrase Structure,上下文有关文法 1A212 |12|1A2| 1 Context Sensitive 1，2* （CSG ） A , +,上下文无关文法 A A,* 2 Context Free （CFG）,正 右线性文法 AxB，Cy A,B,C 3 规 文

2、 左线性文法 ABx，Cy x,yT* 法,4,Overview,0型语言 图灵机 1型语言(CSL) 线性界限自动机 2型语言(CFL) 下推自动机 3型语言(正规集)有限自动机,5,Overview,图灵机所定义的语言类-递归可枚举集合 图灵机所计算的整数函数类-部分递归函数 以图灵机为模型,研究问题的可计算性，即确定该问题是可计算的、部分可计算的，还是不可计算的。,6,Overview,4.1 图灵机模型 4.2 图灵机的变化和组合 4.3 通用图灵机 4.4 图灵机可计算性,7,4.1 图灵机模型,8,4.1 图灵机模型,定义4-1 图灵机M = ( K, , , , q0, B,F)

3、， 其中 K是有穷的状态集合； 是所允许的带符号集合； B ，是空白符； ，B ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 q0K, 是初始状态；,9,4.1 图灵机模型,：KKL,R,S 是图灵机的动作(状态转移)函数，这里 L表示读头左移一格； R表示读头右移一格； S表示读头不动； (q,a)=(p,b,z) 表示状态q下读头所读符号为a时，状态转移为p,读头符号变为b，同时读头变化为z.,10,4.1 图灵机模型,定义4-2 设当前带上字符串为x1x2 xn，当前状态为q，读头正在读xi ，图灵机的瞬时描述ID 为 x1x2 xi-1 q xi xn,11,4.1 图灵机模型,定义4

4、-3 设当前的瞬时描述 ID1= x1x2 xi-1 q xi xn 若有(q, x i) = (p, y, L)，则图灵机瞬时描述变为 ID2 = x 1x 2 x i-2p x i-1 y x i+1 x n； 若有 (q, x i) = (p, y, R)，则图灵机瞬时描述变为 ID2 = x1x2 xi-1 y pxi+1 xn。,12,4.1 图灵机模型,定义4-3 瞬时描述ID1经过一步变为瞬时描述ID2，称ID1与ID2具有一步变化关系，表示为 ID1ID2 若ID1经过n步变为ID2(n0)，即有 ID1ID ID2 称ID1与ID2具有多步变化关系，简记为 ID1 *ID2,

5、13,4.1 图灵机模型,定义4-4 对于图灵机M = ( K, , , , q0, B, F)，定义图灵机接受的语言集 L(M) 为 L(M)=w|w* u0 u v q qf(u0*u*v* qKqf F q0w*u0qB*uqfv),14,4.1 图灵机模型,【例4-1】设计一个图灵机，使得 L(M) = 0 n1 n | n1。 设计思路: 在带上每当将一个0变为X，就把一个1变为Y。当将所有的0变为X时，恰将所有的1变为Y，这个串就是合法的，最后将X、Y分别还原为0、1。,15,4.1 图灵机模型,16,4.1 图灵机模型,【例4-2】 设计一个图灵机，使之接受 L(M) = wcw

6、 | w a,b* 设计思路：在c左侧，从左至右逐一字符，用状态记下它并标志该符号为已处理符号，移至c右侧对应位置后，判断是否是相同符号。若相同，再返回c左侧循环，直至所有符号比较完毕。最后将标志符号修改回原符号。在设计时，特别注意用状态存贮符号的方法，这是图灵机设计的重要方法之一。,17,4.1 图灵机模型,18,4.1 图灵机模型,【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的以2为底的对数。 用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m. 设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此过程，直至a不复存在。这里，用字符c表示划掉的字符。,19,4

7、.1图灵机模型,20,4.1 图灵机模型,【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n的减法： 设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边将一个0改变为B，就在1的右边将一个0改为1，若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。,m-n 若mn mn= 0 否则,21,4.1 图灵机模型,R,22,4.1 图灵机模型,【例4-5】 设计图灵机实现数字从一进制表示到二进制表示的转换。 这个图灵机的设计可以仿例4-3 ，不同在于每次循环时，要保留除以2的余数作为当前二进制位的值。注意这里首先计算出的是二进制的低位值，所以要将结果不断右移以插

8、入新生成的位，生成的结果是低位在右端。初始时，整数n用an表示，结束时，带上是0、1构成的二进制数。,23,4.1 图灵机模型,R,24,4.2 图灵机的变化和组合,4.2.1 双向无穷带图灵机 4.2.2 多带图灵机 4.2.3 非确定图灵机 4.2.4 多头图灵机 4.2.5 多维图灵机 4.2.6 离线图灵机 4.2.7 图灵机的组合 4.2.8 枚举器,25,4.2.1双向无穷带图灵机,定理4-1 L被一个具有双向无穷带的图灵机识别，当且仅当它被一个单向无限带的图灵机识别。 证明：单向无限TM模拟双向无限TM，采用多道技术。,26,4.2.2 多带图灵机,27,4.2.2 多带图灵机,

9、【例4-6】设计一个二带图灵机，使得 T(M)= | 0,1*。 这个问题的关键是比较字符串前后两个部分，为此，首先要对带上字符串计数：每二元素计数加1，按计数值将字符串分为前后两个部分，并将它们分别存放于不同带上，然后进行比较。,28,4.2.2 多带图灵机,29,4.2.2 多带图灵机,【例4-7】 设计二带图灵机，实现二进制到一进制的转换。 设这个图灵机为M7，其第一带用作输入带，第二带用作输出带。设计思路是从左到右扫描输入带上的二进制字符，并使用公式r*2+b生成输出带上一进制数，其中r是当前输出带上的一进制数，b是当前输入带上扫描的字符，这里的r*2就是将原输出带上的一进制数r复制一

10、遍。例如：1001的一进制数计算过程。,30,4.2.2 多带图灵机,31,4.2.2 多带图灵机,定理4-2 如果一个语言L被一个多带图灵机接受，它就能被一个单带图灵机接受。,32,4.2.3 非确定图灵机,【例4-8】下面的图灵机就是不确定图灵机。无向图G中，从a出发合法路径判定的不确定型图灵机。,33,4.2.3 非确定图灵机,非确定图灵机由一个有穷控制器、一条带和一个读头组成。对于一个给定的状态和被读头扫描的带符号，机器的下一个动作将有有穷个选择。 设一个非确定图灵机 M1=( K, ,q0, B, F)，除转移函数外，其它同一般图灵机的定义。转移函数仍是从K到KL,R,S上的映射，但

11、它可能有多个映射的像,即存在qK, a, (q,a)= (p1, b1, c1) (q,a)= (p2, b2, c2) (q,a)= (pr, br, cr),34,4.2.3 非确定图灵机,定理4-3 如果语言L被一个非确定图灵机M1接受，则L将被某个确定图灵机M2接受。,35,4.2.4 多头图灵机,一个k头图灵机有k个读头，一个控制器和一条带，读头由1到k编号，图灵机的一个动作由当前状态和被每个读头所扫描的符号。在一个动作中，每个读头独立地左移、右移或不动。 定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接受，则它能被一个单头图灵机接受。,36,4.2.5 多维图灵机,多维图灵机具有通常的有

12、限控制器，但带却由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都是无限的，根据状态和扫视的符号，该装置改变状态，打印一个新的符号，在2k个方向上移动它的读头，开始时，输入沿着一个轴排列，读头在输入的左端。,37,4.2.6 离线图灵机,定理4-5 如果L被一个二维图灵机M1接受，那么L将被一个一维图灵机M2接受。,38,4.2.7 图灵机的组合,39,4.2.7 图灵机的组合,【例4-9】 设计一个TM ，完成乘法运算mn。开始时带上符号为：0m10n1，结束时带上符号为0mn，用子程序调用的方式完成。 设计思想是：每当抹去左边一个，就在第二个后面拷贝n个。当第一

13、个的左边全变为B时，带上就为 10n10mn，再抹去 10n1，带上就剩0mn，即为所求。 设计Copy子程序 这个子程序完成在第二个拷贝n个的操作。 第1次被调用 开始ID：Bm-11q10n1 结束ID：Bm-11q50n10n 第i次被调用 开始ID：Bim-i1q10n10(i-1)n 结束ID：Bim-i1q50n10in 在拷贝时，每当将一个变成，就在末尾写个。当0n变为2n时，就已在右边加了0n。再将2变为0n。,40,4.2.7 图灵机的组合,设计主 M M= q0,q6,q7,q8,q9,q10,q11,q12,q13,0,1,0,1,2,B,q0, B, q13) 开始ID

14、为q00m10n1，进入Copy入口ID为B0m-11q10n1，为此， (q0,0)=(q6,B,R) (q6,0)=(q6,0,R) (q6,1)=(q1,1,R) 从Copy结束时的ID，进入主TM的开始ID (B0m-11q50n10nBq00m-110n10n) (q5,0)=(q7,0,L) (q7,1)=(q8,1,L) (q8,0)=(q9,0,L) (q9,0)=(q9,0,L) (q9,B)=(q0,B,R) 善后处理：Bm1q50n10mn,41,4.2.8 枚举器,42,4.2.8 枚举器,定理4-6 一个语言是图灵可识别的，当且仅当有枚举器枚举它。 证明：首先证明如果

15、有枚举器E枚举语言L，则存在图灵机M识别L。构造M如下： 对于任意输入串w，运行E。每当E输出一个串时，与w比较，若相等，接受w，并停机。 显然，M接受在E输出序列中出现过的那些串。 现在证明若有图灵机M识别语言L，则有枚举器E枚举L。 设L=w1，w2，w3，构造E如下： 对i=1,2,3,执行如下步骤 （1）对w1，w2，w3，, wi中的每一串，让M以其作为输入运行i步。 （2）若在这个计算中，M接受wj，则打印wj， M接受w，它最终将出现在E的枚举打印中。事实上，它可能在E的列表在出现无限多次，因为每一次重复运行，M在每一个串上都从头开始运行。,43,4.3 通用图灵机,() 缓冲域 带的最左面是标记符，的右边是|K|+|+2个单元构成的缓冲（|K|、|分别是状态集和字母集的元素数目）。 () 的描述字域 缓冲区域右边紧接的是的描述字dM，以为开