复变函数3-1

《复变函数3-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数3-1（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,3.1复变函数积分的概念 及其简单性质,1、 复变函数积分的定义,2、复变函数积分的计算问题,3、 复变函数积分的基本性质,4、 小结与思考,2,光滑曲线的概念回顾:,由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为按(逐)段光滑曲线.,特点,(1)光滑曲线上的各点都有切线,(2)光滑曲线可以求长,按(逐)段光滑的闭曲线称为周(围)线.,3,闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,曲线方向的说明:,一般曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.,那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-,4,1. 积分的定义:,1

2、、 复变函数积分的定义,(1) 对C作分割T,(2)取介点集,5,(,(3)作(Rinmann)和,(4)求极限,6,关于定义的说明:,7,2 . 积分存在的条件,1. 必要条件,2. 充分条件,定理3.1 如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续， 则f(z)沿C可积，且,8,(1) 将各函数代数化,证,9,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,(2)求极限,10,在形式上可以看成是,11,例3.1 设C表示连接点 a的b任一曲线,证明:,证明:,(1) 因为: f(z)=1,12,(2) 因为 f(z)=z,Sn不容易计算,但由于f(z)=z连续,说明, Sn的极限与介

3、点的选取无关,两式相加,得,13,14,2. 复积分计算的参数方程法,若C的参数方程为:,C: z(t)=x(t)+iy(t) t,则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C, :,15,16,定理,设曲线C的参数方程为: z=z(t)=x(t)+iy(t) t,2. f(z)沿曲线C连续,注:该公式可看成由下式形式相乘而得到,17,在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.,18,3.1.3 复积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,被积函数的线性可加性,19,积分路径的可加性,20,性质(5),(6)的证明,两端取极限得,证毕,性质5,积分估值定理,21,例1,解,22,这两个积分都与路线C 无关,23,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,24,(2) 积分路径的参数方程为,25,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,26,例3,解,积分路径的参数方程为,27,例4,解,积分路径的参数方程为,28,29,例5,解,根据估值不等式知,30,31,4、 小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.,32,思考题,