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1、第四节 电场中的自由电子,本节主要内容：,一、准经典模型,二、电子的动力学方程,三、金属的电导率,这一节主要讲述自由电子在电场中的输运性质,所以，我们首先看一下Drude的经典模型,一、准经典模型,准经典模型是在经典模型的基础上稍作改动建立起来的,1.Drude 经典模型,Drude 把自由电子视为理想气体，用类似气体动力论的方法讨论金属的电导和热导问题，其模型为：,1).,电子在规则排列的离子实中作无规热运动，电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡,2).,在两次碰撞之间，电子不受到力的作用，即忽略电子之间的相互作用(独立电子近似)以及电子和离子实之间的相互作用(自由电子近似),3).,定义驰豫
2、时间，借以概括电子和金属离子的碰撞特征,驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间,由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰撞几率为-1,dt时间内，电子受到碰撞的几率为,2.模型的适用性,由于金属中电子的平均自由程(mean free path)的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度0.1 nm,因此,在很多问题中,经典近似是很好的近似,说明：,按测不准关系,金属自由电子模型的解表明，电子有确定的动量,因此，动量的不确定度应远小于金属中电子的最高动量，也就是要远小于费米动量,动量才会有确定值。,也就是动量的不确
3、定度,前面我们已知费米波矢,电子密度的另一种表示：,所以,从而,由测不准关系可得坐标有确定值的条件为：,由于电子球的平均半径 rs 约为0.1 nm, 所以，当平均自由程远大于0.1nm时，坐标有确定值。,3. 准经典模型,对外场作用下的电子，采用经典的处理方式，但用电子的费米速度代替电子的平均热运动速度，这种做法称为准经典模型。,二、电子的动力学方程,由于假定碰后电子无规取向，所以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。,由假定， dt时间内，电子受到碰撞的几率为：,则电子没有受到碰撞的几率为：,假定 t 时刻电子的平均动量为P(t),经过dt时间没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为
4、P(t+dt),没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化率之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。,即：,由冲量定理，冲量等于动量的变化,冲量,是对于所有电子而言的，电场力对所有电子有作用,但是，有贡献的只是未发生碰撞的电子,整理上式,取一级近似,整理得,所以，自由电子在外场下的动力学方程为,设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为vd(t),则动量,从而，自由电子在外场下的动力学方程变为,阻尼力,下面我们利用该方程讨论电子的输运行为,1.4.3 金属的电导率,对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度,所以：,把它们代入自由电子在外场下的动力
5、学方程,得到：,整理后得到电子的漂移速度为,相应的电流密度,又,所以，电导率为,1.稳恒电场情形,根据实验我们可以测出材料的电导率,然后，代入电导率公式可计算弛豫时间,由弛豫时间，可得到电子的平均自由程：,对于普通的金属， 的量级约10-14s, l 约10 nm,2.交变电场情形,此时,代入电子的动力学方程得,整理得,由,得到,为直流电导率,3. 金属电导率的进一步讨论,金属的电导率是固体电子论的一个重要问题，要严格求解电导率必须先建立非平衡分布函数的方程，即玻尔兹曼方程。,关于玻尔兹曼方程的建立和求解，是一项很复杂的工作。 本教材的第六章第二节会讨论该问题。,下面我们利用费米球在外场作用下
6、产生刚性移动这一直观模型来进一步讨论金属的电导率,已知金属自由电子费米气体具有确定的动量,在恒定的外场作用下，电子受力为-eE,由牛顿第二定律,此式说明在外电场的作用下，电子动量的改变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了费米球的刚性移动。,在k空间移动的速度为,从而,电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得,此式表明，在K空间，从0t 时刻，费米球中心移动为,负号表示费米球沿与外场相反的方向移动,那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位移为,费米球在外场作用下产生刚性移动示意图,从0 时刻，费米球中心逆电场方向移动为,讨论：,1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原点重合；整个费米球对原点对
7、称。此时，如果有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V,因此金属内净电流为零。,2).沿 kx 轴负向加一外电场E,费米球沿 kx 轴平移，出现定向运动，从而形成 kx 轴向的稳态电流,关于电流的形成有两种解释：,a.认为费米球内的所有电子都参与了传输电流的过程。,由于费米球的平移，每一个电子都得到一个速度增量v,则由,所以，附加速度,则电流密度,所以，电导率为,b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子才对金属的电导有贡献,如图所示，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。,由于I区和II区均位于原来的红色球内,且关于 ky kz 面对称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下费米面附近
8、未被补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。,由于费米球的半径为kF,位移为k,电子在球内均匀分布,所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例为：,其电子数目相当于,电量为,由于这些电子以费米速度运动，则对电流的贡献为,电导率,和前面得到的电导率形式上一样，只是用F 代替 ,说明：,模型a 认为参与导电的电子数目极多，但缓慢漂移(见下面的解释)；模型b 认为参与导电的电子数目极少，但速度极大(vF约为106m/s)；所以，两者效果一样。,严格的理论计算支持了模型b的说法。这主要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。,漂移速度,
