角形单元有限元

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1、第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法？ 第8章 弹塑性问题的有限元法,结 构 有 限 元 分 析,第1章 三角形单元的有限元法,1.1 有限元法的基本思想,有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算

2、容易地在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS, SAP2K,把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。,弹性悬臂板剖分与集合,单元、节点需编号,有限元法主要优点：,（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。,1.1.1 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离

3、散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。,单元的节点上有位移和力F,（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。,（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。,1.1.2 有限元法分析思路流程,（1-1）,2、单元内任意点的体积力列阵qV,（1-2）,1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs,1.2 基本力学量矩阵表示,3、单元内任意点的位移列阵f,（1-3）,4、单元内任意点的应变列阵 ,（1-4）,5、单元内任意点的应力列阵,（1-5）,6、几何方程,（1-6）,将上式代入式(1-4），,7、物理方程矩阵式,

4、（1-7）,式中 E、弹性模量、泊松比。,上式可简写为,（1-8）,其中,对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：,(1-9）,矩阵D称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）中的E换为 ，换为 。,1.3 位移函数和形函数,1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的

5、精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。,不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。,图1-2是一个三节点三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：,（1-10）,一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：,2、位移函数设定,本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：,(1-12）,式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移， a2、 a3、 a5、 a6代表

6、单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。,(1-11）,选取位移函数应考虑的问题,（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；,（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。,（2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y；,（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。,（5）位移函数中必须包含单元的常应变。,（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。,条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（

7、6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。,（7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。,例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。,对任一单元，如单元，取位移函数：,、单元的位移函数都是,可以看出： 位移函数在单元内是连续的；,以、的边界26为例,两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。,位移函数在单元之

8、间的边界上也连续吗？是。,3、形函数,形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。,(1-13）,（1）形函数确定,现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、a6 。设节点i、j、m的坐标分别为（xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），节点位移分别为（ui、vi）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们代入式（1-12），有,从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为,(1-14）,式中， A为三角形单元的面积，有,(1-15）,特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节

9、点i，则没有关系。,将式(1-14）代入式(1-12）的第一式，整理后得,同理,(1-16）,式中,(1-16）,令,(1-18）,位移模式(1-16）可以简写为,(1-19）,式(1-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。,(1-16）,用形函数把式(1-16）写成矩阵，有,缩写为,(1-20）,形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：,N为形函数矩阵，写成分块形式：,(1-21）,其中子矩阵,(1-22）,I是22的单位矩阵。,（2）形函数性质,性质1 形函数Ni在节

10、点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有,（i、j、m）,性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对 于本单元，有,图1-3,？,图1-4,也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。,性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有,证,图1-5,（1）,性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为,(1-23）,式中 为 边的长度。,1.4 单元应变和应力,根据几何方程(1-6）和位移函数(1-16）可以求得单元应变。,1、单元应变,对位移函数（式(1-16）,(1-24）,(1-16）,求导后代入式(1-6），得到应变和

11、节点位移的关系式。,上式简写一般式：,(1-25）,式中， B单元应变矩阵。,对本问题，维数为36。它的分块形式为：,子矩阵,(1-26）,由于 与x、y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。,2、单元应力,将式(1-25）代入物理方程式(1-8），得 单元应力,(1-27）,也可写为,(1-28）,其中：S称为单元应力矩阵，并有,(1-29）,这里，D是33矩阵，B是36矩阵，因此S也是36矩阵。它可写为分块形式,(1-30）,将弹性矩阵（式(1-9） 和应变矩阵（式(1-26）代入，得子矩阵Si,

12、由式(1-29）,(1-31）,式(1-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成 ，换成 即得。,(1-32）,由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。 当然，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。,1.5 单元平衡方程,1、 单元应变能,对于平面应力问题中的三角形单元，设单元厚度为h 。,将式(1-25）和(1-8）代入上式进行矩阵运算，并注意到弹性矩阵D的对称

13、性，有,应变能 U为,由于和T是常量，提到积分号外，上式可写成,引入矩阵符号k，且有,(1-33a）,式(1-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得计算k的一般式。,(1-33）,式(1-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元k的一般式。,1.6节中将明确k的力学意义是单元刚度矩阵。式(1-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。,单元应变能写成,(1-34）,2、 单元外力势能,单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相

14、邻单元互相作用的内力等。,(1-33）,（1） 体积力势能,单位体积中的体积力如式(1-35）所示。,单元上体积力具有的势能Vv为,注意到式(1-20）,有,（2） 表面力势能,面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。,现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面积受到的表面力如下式：,l单元边界长度 h单元厚度 A表面力作用面积,qs,qs沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能Vs为,（3） 集中力势能,当结构受到集中力时，通常在划分单元网格

15、时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力Pc的势能Vc为,（4）总势能,把(1-35）式中原括符内的部分用列阵Fd代替，,综合以上诸式，单元外力的总势能V为,(1-35）,Fd具有和相同的行、列数。则,(1-36）,由单元的应变能U(1-34）和外力势能V(1-36），可得单元的总势能,(1-37）,将式(1-37）代入，,根据弹性力学最小势能原理：结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。,3、单元平衡方程,于是有，,式(1-38）是从能量原理导出的单元平衡方程。这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，Fd和单元节点力F具有相同的意义。,(1-38）,即得单元平衡方程,1.6 单元刚度矩阵,平衡方程(1-38）中的矩阵k是单元力和单元位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为nj nj， nj 是单元位移总数。其一般计算公式为：,1、一般计算公式,它与单元应变矩阵B和弹性矩阵D有关。,对于平面应力三角形单元，应变矩阵B是常数矩阵，同时弹性矩阵D也是常数矩阵，于是式(1-33）可以化简为,式中A表示三角形单元的面积。h是单元厚度。,2、平面问题三角形单元刚度矩阵,（1）平面应力三角形单元,将式(1-9）和(1-26）代入上式，,即得平面应力