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1、第三章 连续线性算子与连续线性泛函第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个维向量空间映射到另一个维向量空间的运算，就是借助于行列的矩阵对中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，
2、我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。定义3.1 由赋范线性空间中的某子集到赋范线性空间中的映射称为算子，称为算子的定义域，记为，为称像集为算子的值域，记作或。若算子满足：（1）（2）称为线性算子。对线性算子，我们自然要求是的子空间。特别地，如果是由到实数（复数）域的映射时，那么称算子为泛函。例3.1 设是赋范线性空间，是一给定的数，映射是上的线性算子，称为相似算子；当时，称为单位算子或者恒等算子，记作。例3.2 ，定义由积分的线性知，是到空间
3、中的线性算子。若令则是上的线性泛函。定义3.2 设是两个赋范线性空间，是线性算子，称在点连续的，是指若，则；若在上每一点都连续，则称在上连续；称是有界的，是指将中的有界集映成中有界集。定理3.1 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性算子，若在某一点 连续，则在上连续。证明：对，设，且，于是，由假设在点连续，所以当时，有因此，即在点连续。由的任意性可知，在上连续。定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子连续等价于若（中零元），则（中零元）。例3.3 若是维赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则在上连续。证明：
4、在中取一组基，设且，即，则从而。于是因此，即在处连续，进而在上每点连续。定理3.2 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性映射，则有界的充分必要条件是：存在常数，使不等式成立，即 证明：必要性。因有界，所以将中的闭单位球映成中的有界集，即像集是中的有界集。记，此时，对每个，由的定义有 （3.1）即，而当时，不等式（3.1）变成等式。故有 充分性。设是的任一有界集，则存在常数使。由知故有界。证毕。定理3.3 设是两个赋范线性空间，是从的子空间到中的线性映射，则是连续的充要条件是是有界的。证明：充分性。设有界，则存在常数，使对一切，从而对有即。所以，是连续的。必要性。若连续但是无界的，那么对每个，
5、必存在，使，令，那么，即，由的连续性，但是另一方面，引出矛盾，故有界。定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用表示到的有界线性算子组成的集合。例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。例3.4 考察定义在区间上的连续可微函数全体，记作，其中范数定义为，不难证明，微分算子是把映入中的线性算子。取函数列，显然，但因此，微分算子是无界的。定义3.3 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，对一切，满足的正数的下确界，称为算子的范数，记作。由定义可知，对一切，都有。定理3.4 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，则有证明：由，易得 （3
6、.2）根据的定义，对于任给的，存在非零，使令，则有，因此令得 （3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得而，由定义易知。例3.5 在上定义算子如下（1）把视为到的算子，求；（2）把视为到的算子，求。解：算子的线性是显然的，下面分别求。（1）设：，任取，由于，从而 故是有界的，并且。另一方面，取，并且于是故。（2）设：，任取，由于，从而 因此，是有界的，并且；另一方面，对任何使得的自然数，作函数显然,且，而所以，又有因此，。此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
7、例3.6 设在上连续，定义算子：为则，且证明：由于故结论成立。事实上，还可以进一步证明由于证明要用到实分析知识，这里从略。例3.7 已知实矩阵，定义为，则，且。证明： 故 对于赋范线性空间上的线性泛函，我们总视为到数域所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间上的线性泛函，由于，所以，因而的范数就是。对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。定理3.5 设是赋范线性空间，是上的线性泛函，则：（1）是连续的充要条件是的零空间是的闭子空间；（2）非零线性泛函是不连续的充要条件是在中稠密。证明：（1）必要性：设是上的线性泛函，又设，由的连续性
8、可得。因此，所以是的闭子空间。充分性：设是闭集，如果不是有界线性泛函，则对每个自然数，必有使得。令，则，即，并且即。但是，从而。这和是闭集矛盾。因此，是有界的。（2）必要性：设是连续的，由定理3.1知在点不连续，从而存在，但，对，显然有并且，所以在中稠密。充分性：假设是连续的，由在中稠密可知，对，存在，使，从而这与假设非零矛盾。证毕。我们现在考虑由赋范线性空间到赋范线性空间的有界线性算子的全体的性质。对任意，规定显然，及都是线性算子，称为与的和，为与的积，易验证按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子，算子范数还满足三个条件：（1），若，则对一切，即；（2）；（3）。因此，是一
9、个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。一般说来，不一定是完备的，但是我们有如下的定理：定理3.6 设是完备的赋范线性空间，则是完备的。证明：如果设为一Cauchy列，即则对，必有这说明是中的Cauchy列，由的完备性，在中存在惟一的一个元，记为使得。于是，就是从到的一个算子，其线性可由的线性推得。又由于因而知数列收敛，即有数使得，由此推得故为有界线性算子，即。由于，故对，存在自然数，使得时，有。于是有。固定，令，可得出。又由于，因而有，且由以上不等式可推出 即，所以空间是完备的。证毕。注：赋范线性空间上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数构成一个Banac
10、h空间，称之为的共轭空间，记作。习题3.11.设，证明：是的闭子空间。 2.设，证明：复合算子满足。3.，定义为及为。（1）问与可交换吗？（即是否成立？）（2）求及。4.设为所有有界数列组成的线性空间，范数为给定无穷矩阵，满足，定义算子为，其中，且证明：，且。5.设，在上定义范数矩阵定义算子为证明：。6.设连续且可加，即对任意有，证明：必为，其中为常数。7. 设和都是Banach空间，且是满射，证明：对中任意稠密子集，成立。8.设是Banach空间，且，定义为的次复合，为单位算子，证明算子级数在中收敛，且（零算子）。3.2 共鸣定理及其应用许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有
11、界问题，Banach-Steinhaus定理对这一问题给出了回答。定义3.4 设称一致收敛于，是指，即在算子范数意义下收敛，记为；称强收敛于，是指对，记为。由定义易知，。但是，反之不成立。例如，定义，则，但是，若记则，故所以对任意自然数，有，即，故不成立。容易证明，有界线性算子列一致收敛于有界线性算子的充要条件是在的单位球上一致收敛于。定义3.5 设是一个度量空间，称是中的稀疏集，是指在中的任何一个非空开集中均不稠密。又称是第一纲的，是指可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。例3.8 有理数集，定义度量，则是第一纲的，因为，而单点集是中的稀疏集。下面是关于完备度量空间
12、的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共鸣定理的关键。定理3.7 设是完备的度量空间，则是第二纲的。证明：用反证法。若存在一列稀疏集使，任取一个闭球，由于在开球中不稠密，从而可取一个闭球，满足；又在开球中不稠密，同理，取闭球，满足，按上述过程一直进行下去，可得出闭球列满足如下条件：（1）；（2）；（3）。由条件（3）知，的直径，由闭球套定理，存在，且，但是从条件（2）中又有，矛盾，故是第二纲的。证毕。应用上述定理来证明共鸣定理。定理3.8（共鸣定理） 设是banach空间，是赋范线性空间，算子簇，若对任意，满足那么证明：定义上的泛函为，则且容易验证满足记 则。首先证是闭集。设，对每个，因
13、是连续的，所以，更有，又，故，即。因是完备的，由定理3.7，必存在自然数，使不是稀疏集，从而存在开球使在中稠密，是闭的，所以。对任一，注意到则所以。对每个，即进一步有证毕。上述共鸣定理说明，对每个有界，则有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致有界原理。一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了这些问题。定理3.9 设是Banach空间，是赋范线性空间，若对于每个在中存在，定义线性算子为，则，且有界。证明：由在中存在，知。据定理3.8知，存在常数，使，故即。证毕。定理3.10
14、设是赋范线性空间，是Banach空间，如果满足下列条件：（1）是有界数列；（2）在中某一稠密子集中每个元素收敛。则强收敛于某一有界线性算子，且。证明：因有界，故存在，使对一切。任取，注意到在中稠密，故对于任给，存在，使。由条件（2）可知，收敛，故存在自然数，使对一切以及任意自然数有于是故是Cauchy列，由于是完备的，故收敛。令，则是定义在上而值域包含在中的线性算子。再由可知有界，且证毕。本章3.1节定理3.6证明了当是Banach空间时，依算子范数是完备的。现在我们可以证明当都是完备时，对于算子列的强收敛也是完备的。定理3.11 设都是Banach空间，则L（X，Y）在强收敛意义下是完备的。证明：设是给定算子列，对每个是Cauchy列，故有界，再由一致有界原理可推知有界。注意到是Banach空间，故对每个收敛。因此，满足定理3.10的条件（1）和条件（2），故强收敛于某一有界线性算子。下面介绍
