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1、新疆师范大学数学科学学院 马昌秀,初中数学思想方法的教学与应用,中位数,,在数学的海洋中，一道道数学题只是大海中的一朵朵浪花，谁能踏遍每一朵浪花呢？,中位数,,着力提高数学素养,数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学生的数学素养。,中位数,,什么是数学思想和方法,数学思想，就是对数学知识本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。,中位数,,数学方法指在数
2、学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。,数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。,中位数,,常用的数学思想方法,常用数学思想: 建模思想、统计思想、最优化思想、转化化与化归思想、类比思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等。,常用数学方法： 配方法、换元法、待定系数法、参数法、 构造法、特殊值法等。,中位数,,1、生活的需要,为什么要重视数学思想方法的学习,2、学生发展的需要,3、课标要求,4、高效课堂的需要,中位数,,一、数学思想方法的培养应遵循的原则： 渗透性原则、层次
3、性原则、反复性原则,如何培养初中生的数学思想方法,二、在知识的传授全过程中，培养学生的数学思想 在概念形成过程中、在公式定理的证明过程中、在例题教学中、在练习过程中渗透和培养数学思想,三、培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的能力,中位数,,数学思想方法的三个层次:,中位数,,初中数学思想方法的教学与应用,类比联想 整体思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想 方程与函数思想,中位数,,类比联想,类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的
4、观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法,中位数,,教学体现,相似三角形判定方法的探索 零指数幂和负整数指数幂的性质探索 特殊平行四边形性质和判定的探索 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的探索 整式除法运算法则探索 求多边形内角和,中位数,,复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接 BQ、CP，则BQ=CP” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，
5、发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明,中位数,,（2010中考）22.（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由 （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值,F,中位数,,F,中位数,,2012中考,中位数,,整体思想,整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密
6、联系的量作为整体来处理的思想方法。,中位数,,教学体现,多项式与多项式相乘的法则探索 二元一次方程组的解法 代数式求值 分解因式 整式的相关计算,中位数,,应 用,2、,已知方程组,的解是,，则a+b= .,3、,1、若x=1时，代数式3ax+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求3ax+bx+7的值为；,4、,中位数,,5、如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度 至少需要 米。,6、如图，A，B，C两两不相交，且半径都是0.5cm， 则图中的阴影面积为 。,中位数,,7、（2009绵阳中考12题） 如图，ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半
7、圆O2过C点且与半圆O1相切，求图中阴影部分的面积。,中位数,,数形结合思想,数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。,数与形本是相倚依，怎能分作两边飞； 数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休。 华罗庚,中位数,,教学体现,数轴 平面直角坐标系 函数 空间与图形 勾股定理 平方差公式、完全平方公式的几何意义,中位数
8、,,一、代数内容体现的数形结合思想,每一个实数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个实数大小的比较，是通过这两个实数在数轴上的对应点的位置关系进行的，相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（实）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点）,中位数,,1：如图所示，已知数轴上A、B、C、D四个点对应的实数都是整数，若A点对应实数a，B点对应实数b，且b-2a=7,那么数轴上的原点应是( ),A B C D,A、A点 B、B点 C、C点 D、D点,C,基础练习,中位数,,2：a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子中一定成立的是（只填
9、序号）,a -1 b,A、a-b 0 B、 a+b 0 C、 ab 0 D、 ab+a+b+1 0,中位数,,例 1. 解不等式组,2 (x+2) x+5,3 (x-2)+8 2x,解：,解不等式 ，得,解不等式 ，得,x 1,x -2,在数轴上表示不等式，的解集,所以，原不等式的解集是,- 2 x1,实例,中位数,,阅读下面材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图或图的面积表示. （1）请写出图所表示的代数恒等式： ； （2）试画出一个几何图形，使它的面
10、积能表示：(a+b)(a+3b)=a2+ 4ab+ 3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.,实例,中位数,,中位数,,二、几何内容体现数形结合思想,借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，以使几何问题代数化。勾股定理及其应用就很好地体现了这一思想。,中位数,,如图，图1中正方形A的面积是_，图2中B正方形的面积是 ；,基础练习,中位数,,三、函数及其图象内容凸显了数形结合思想,数形结合方法在解决与函数有关的问题时，常常画出该函数的草图或示意图，即以形助数；如果给定了函数图象，我们可以联想到与之相对应的函数解析式，即由数思形.,中位数,,1、
11、已知二次函数 y=x2+2x-3 的图象是 ，它的开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，它与 x 轴有 个交点，交点坐标是 ；在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ；当x= 时，函数 y 有最 值，是 ,抛物线,向上,（-1，-4）,直线 x -1,两,（-3，0），（1，0）,减小,增大而增大,-1,小,-4,基础练习,中位数,,2、 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 则点A(a, b)在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限,B,中位数,,6、,5、对于二次函数yax2bxc若a0，b0，c0， 则下面关于这个函数与x轴
12、的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴,2012中考,中位数,,7、(08湖北恩施州) 如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示ACCE的长； (2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.,中位数,,如图，RtABCRtADE，A=900，BC和DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距离是_,一般解
13、法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果,中位数,,解：如图，建立平面直角坐标系， x=,启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出奇制胜的作用,以数解形 以形助数,中位数,,所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略. 简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。,一、分类思想方法定义与特点,中位数,,二、分类讨论思想,分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干
