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1、1.分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统 一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类， 然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综 合各类结果得到整体问题的解答.实质上，分类与 整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数 学解题策略. 2.分类原则是分类的对象确定,标准统一;不重 复,不遗漏;分层次,不越级讨论;归纳总结,整合 完善.,学案3 分类讨论思想,1.从平面外一点P引与平面 相交的直线,使得P与交 点A的距离等于1，则满足条件的直线条数一定不可 能是 （ ） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 解析 设点P到平面 的距离为d,则d=1时，恰有一 条；d1时，不存在
2、；0d1时，有无数条.,C,2.函数f(x)= 若f(a)=1,则实数a的 所有可能值组成的集合为 （ ） A.1 B.1,- C.- D.1, 解析 因为当-1a0时，sina2=1, 当a0时，ea-1=1,所以a-1=0，即a=1. 综上可知,实数a的所有可能值组成的集合为1， ,B,3.已知集合A=x|(m+2)x2+2mx+10,B= xR，则使 成立的实数m的取值范围是（ ） A.-2，2） B.（-2，2 C.-2，2 D.-2，-1)（-1，2） 解析 因为B= xR=y|y0, 令f(x)=(m+2)x2+2mx+1,又f(0)=1, 所以函数f(x)的图象恒过定点（0,1）
3、,要使 , 则必满足 解之得-2m-1或-1m2或m=-2, 所以m的取值范围是-2m2.,A,4.过三棱柱任意两顶点的直线共15条，其中异面 直线有 （ ） A.18对 B.24对 C.30对 D.36对 解析 因为侧棱的条数为3,且和每一条侧棱异面的直 线条数为4；侧面对角线条数为6,且和每一条侧面对 角线异面的直线有5条；两底面边的条数为6,且和每 一条边异面的直线有5条，又知直线异面是相互的， 所以异面直线共有 (34+65+65)=36对.,D,题型一 由数学概念引起的分类讨论 【例1】设00,且a1,比较|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|的大小. 解 因为01,则00
4、,loga(1+x)0, 即|loga(1-x)|loga(1+x)|. 当a1时,由loga(1-x)0,所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x) =-loga(1-x2)0, 即|loga(1-x)|loga(1+x)|. 由可知,|loga(1-x)|loga(1+x)|. 【探究拓展】在解答该类问题时,首先从概念出发判 断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝 对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定),再按照 相关的法则去计算,直至得出结论.,变式训练1 已知函数 , 满足f(c2)= (1)求常数c的值; (2)解不等式f(
5、x) 解 (1)因为0c1,所以c2c, 由f(c2)= ,即c3+1= , 所以c= .,(2)由(1)得 ,题型二 由运算引起的分类讨论 【例2】已知函数 (1)求f(x)的值域; (2)设函数g(x)=ax-2,x-2,2,若对于任意x1 -2,2,总存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a 的取值范围.,解 (1)当x-2,-1)时,f(x)=x + 在-2,-1) 上是增函数, 此时f(x) ,-2.,(2)当a=0时,g(x)=-2,对于任意x1-2,2, 不存在x0 -2,2,使得g(x0)=f(x1)成立; 当a0时,g(x)=ax-2在-2,2上是增函数, g(x)
6、-2a-2,2a-2,任给x1-2,2, 若存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立, 则,当a0时,g(x)=ax-2在-2,2上是减函数, g(x)2a-2,-2a-2, 同理可得 综上,实数a的取值范围是,【探究拓展】在解答该类问题时,应根据函数g(x) 中所含的参数a的取值情况进行讨论,得到函数的单 调性，从而得出该函数在给定区间上的值域,再依据 题意建立不等式组进行求解,得到a的取值范围.,变式训练2 已知函数f(x)=ex-e-x. (1)证明:函数f(x)的导数f (x)2; (2)若对所有x0都有f(x)ax,求实数a的取值范围. (1)证明 因为函数f(x)的导数f
7、(x)=ex+e-x, 又ex+e-x (当且仅当x=0时,等号成 立)，所以f (x)2. (2)解 令g(x)=f(x)-ax, 则g (x)=f (x)-a=ex+e-x-a;,若a2,当x0时，g(x)=ex+e-x-a2-a0,所 以函数g(x)在区间(0,+)上为增函数，则x0时， g(x)g(0)=0，即f(x)ax. 若a2,方程g(x)=0的一个正根为 此时，若x(0,x1),则g(x)0, 故函数g(x)在区间（0，x1）上为减函数， 所以x(0,x1)时,g(x)g(0)=0, 即f(x)ax,与题设f(x)ax相矛盾. 综上可知，满足条件的实数a的取值范围是（-,2.,
8、题型三 由定理、公式等引起的分类 【例3】 设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0 (n=1,2,). （1）求q的取值范围； （2）设bn=an+2- an+1，记bn的前n项和为Tn， 试比较Sn与Tn的大小. 解 (1)因为an是等比数列，Sn0, 可得a1=S10,q0, 当q=1时，Sn=na10;,上式等价于 或 解式得q1； 解式，由于n可为奇数，可为偶数， 故-1q1,q0. 综上，q的取值范围是(-1，0)(0，+).,又因为Sn0,且-10, 所以当-12时，Tn-Sn0, 即TnSn； 当 q2且q0时，Tn-Sn0,即TnSn; 当q= 或q=2时，Tn-Sn=0，即
9、Tn=Sn.,【探究拓展】等差、等比数列的通项、前n项的和是 数列的基础，那么在研究一个数列的通项时，对n=1 与n2要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位 相减法求解时，要对公比q是否为1进行分类讨论.,变式训练3 已知在等比数列an中,a1=1,Sn是其前n 项的和,且ak+1，ak+3，ak+2 （kN）成等差数列. （1）求数列an的公比； （2）试判断Sk+1，Sk+3，Sk+2 （kN）是否也构成 等差数列，说明理由. 解 (1)设等比数列an的公比为q， 则ak+1=a1qk，ak+3=a1qk+2，ak+2=a1qk+1. 依题意得2qk+2=qk+qk+1，由于qk0, 所以
10、2q2-q-1=0,解得q=1或q= . (2) 当q=1时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+3=k+3,Sk+2=k+2, 显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+32Sk+3 , 故Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;, 所以Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列. 综上所述:当q=1时,Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列; 当q= 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列.,题型四 由参数变化引起的分类讨论 【例4】已知mR,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区 间0,1上的最大值. 解 (1)当4-3m=0时，即m= 时， 函数y=
11、-2x+ . 它在0,1上是减函数，所以f(x)max=f(0)= . (2)当4-3m0,即 时，f(x)是二次函数. 若4-3m0，即 时，二次函数f(x)的图象开 口向上，对称轴 ，它在0,1的最大 值只能在区间端点取得. f(0)=m,f(1)=2-2m.,当m2-2m,又m 时,二次函数f(x)的图象开口向 下,又它的对称轴方程 ,所以函数f(x)在 0,1上是减函数. 于是f(x)max=f(0)=m. 由(1)(2)可知,这个函数的最大值为,【探究拓展】 在解答该类问题时，应根据条件首先 确定函数的属性，即分成 两类这是 一级分类；然后对 时，按照抛物线的开口方 向分成 两类，这
12、是二级分类；最后 在 中，比较f(0),f(1)的大小关系，又分成 两类，这是三级分类，每次分 类都有一个标准，要做到不重不漏.,变式训练4 已知函数 (a,b为常数)，且 方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4. (1)求函数f(x)的解析式； （2）设k1,解关于x的不等式： 解 (1)将x1=3,x2=4分别代入方程 解之得,(2)不等式即为 即(x-2)(x-1)(x-k)0, 当12时,解集为(1,2)(k,+).,【考题再现】 已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值
13、. 【解题示范】 解(1)f(x)=x(ax+2)eax. 2分 当a=0时，令f (x)=0，得x=0; 若x0,则f(x)0,从而f(x)在(0,+)上单调递增； 若x0,则f(x)0,从而f(x)在(-,0)上单调递减. 4分,当a0时,令f(x)=0， 得x(ax+2)=0,故x=0或x= . 5分 若x0，则f(x)0， 从而f(x)在（-,0)上单调递减. 6分 7分 8分,(2)当a=0时， f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1. 9分 当-2a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是 f(1)= ea. 10分 当a-2时，f(x)在区间0,1上的最大值是 11分 综上所
14、述，当a=0时，f(x)max=1; 当-2a0时，f(x)max= ea 当a-2时,f(x)max= 12分,分类讨论并不是凭空产生的,有着它出现的原因.这个 原因就是我们分类的标准和依据.一般来说,可以归纳 为以下几点： 1.涉及的数学概念是分类定义的. 2.运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的. 3.由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发 的. 4.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的.,5.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的. 6.有实际问题的实际意义引起的. 7.复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的. 在运用分类讨论问题时,我们要明确分类的原因是什 么、对
15、象是什么、分几个类别.不仅要掌握分类的原 则,而且要把握分类的时机,重视分类的合理性与完整 性.,一、选择题 1.不等式 的解集是 （ ） A.x|-2x2 B. C.x|-2x0或0x2 D.,解析 当x0时，原不等式等价于 , 所以0x2; 当x0时，原不等式等价于 即 解集为 答案 B,2.若不等式x2+ax+10对于一切x(0, 成立,则a 最小值是 （ ） A.0 B.-2 C. D.-3 解析,C,3.设函数 ,则当ab时， 的值应为 （ ） A.|a| B.|b| C.a，b中较小的数 D.a，b中较大的数 解析 当ab时，a-b0，则f(a-b)=1, 所以 当ab时，a-b0，则f(a-b)=-1, 所以,D
