导数压轴处理套路与大招(上)

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1、QQ 群 545423319 - 1 - 导数压轴导数压轴题处理套路题处理套路 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） . - 2 - 专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则） - 4 - 专题三 导数与零点问题（如何取点） - 7 - 专题四 隐零点问题整体代换 - 13 - 专题五 极值点偏移 . - 18 - 专题六 导数处理数列求和不等式 . - 25 - 微信公众号：中学数学研讨部落 说明：题目全来自网络和 QQ 群友分享，在此一并谢过 QQ 群 545423319 - 2 - 专题一专题一 双双变变量同构式（量同构式（含拉格朗日含拉格朗日中值定理）中值定理） 例1.

2、 已知 （1）讨论的单调性 （2）设，求证： 例2. 已知函数，。 （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意 x ，x，xx ，有。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 2 1 ln1f xaxax f x 2a 121212 ,0,4x xf xf xxx 2 1 (1)ln 2 f xxaxax1a ( )f x 5a 12(0, ) 12 12 12 ( )() 1 f xf x xx ( )ln, m f xxmR x mee( )f x ( )

3、( ) 3 x g xfx ( )( ) 0,1 f bf a ba ba m QQ 群 545423319 - 3 - 例4. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）对任意的，有，求 k 的取值范围 例5. 已知函数，是否存在，对任意 x ，x， xx ，恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。 例6. 已知函数( )lnf xaxxx的图象在点x e （e为自然对数的底数）处的切线的斜率 为 3 （1）求实数a的值； （2）若 2 ( )f xkx对任意0x 成立,求实数k的取值范围； （3）当1nm * ( ,)m nN时,证明： n m mm nn 1 ln x f x x yf

4、x 2 12 ,x xe 12 1212 ( )()f xf xk xxx x 2 1 ln(2) 2 f xxaxaxaR 12(0, ) 12 12 12 ( )()f xf x a xx QQ 群 545423319 - 4 - 专题二专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立分离参数与分类讨论处理恒成立（含含洛必达法则）洛必达法则） 例1. 已知函数 ln ( )= 1 axb f x xx ，曲线= ( )y f x在点(1(1)f，处的切线方程为23=0xy. （1）求a、b的值； （2）如果当0x ，且1x 时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求k的取值范围. 例2. 设函数

5、 2 ( )=1 x f xexax . （1）若0a ，求( )f x的单调区间； （2）当0x 时，( )0f x ，求a的取值范围. 例3. 已知函数 2 ( )(1) x f xx eax. （1）若( )f x在1x 时有极值，求函数( )f x的解析式； （2）当1x 时，( )0f x ，求a的取值范围. （3）当0x 时，( )0f x ，求a的取值范围. QQ 群 545423319 - 5 - 例4. 设函数( )1 x f xe . （1）证明：当1x 时，( ) 1 x f x x ； （2）设当0x 时，( ) 1 x f x ax ，求a的取值范围. 例5. 设函数

6、 sin ( )= 2cos x f x x （1）求( )f x的单调区间； （2）如果对任何0x，都有( )f xax，求a的取值范围 例6. 已知函数( )=1 1 x x f xe x （1）证明：当 0 时间， 0f x （2）若当 0x 时， 0f x ，求实数的取值范围。 QQ 群 545423319 - 6 - 例7. 已知函数 2 ( )=ln1f xxa xx，其中Ra （1）讨论函数( )f x的极值点个数，并说明理由 （2）若 0,0xf x 成立，求a取值范围。 例8. 已知函数 2 11 ( )=ln.0 22 f xaxxax a （1）求证02a时，( )f x

7、在 1 + 2 ，上是增函数 （2）若对任意的1,2a，总存在 0 1 , 2 x 使不等式 2 0 ()1f xma成立，求实 数m的取值范围 例9. 已知函数 2 ( )=(2)e(1) x f xxa x有两个零点.求a的取值范围； QQ 群 545423319 - 7 - 例10. 已知函数( )=(1)ln(1)f xxxa x. （1）当4a时，求曲线( )yf x在1,(1)f处的切线方程； （2）若当1,x时，( )0f x ，求a的取值范围. 专题专题三三 导数与零点问题（导数与零点问题（如何如何取点）取点） 例1. 已知函数 2 2( )(). xx f xaeaex （1

8、）讨论( )f x单调性； （2）若( )f x有两个零点，求 a 的取值范围； 例2. 已知函数 2 21 x f xxea x 有两个零点.求a的取值范围； QQ 群 545423319 - 8 - 例3. 设函数 2 =ln x f xeax.讨论 f x的导函数 fx的零点的个数； 例4. 已知函数 2 1 x f xxeax 有两个零点. (2) 求 a 的取值范围 例5. 已知函数 2 1 2 ( ). x m f xexmx当 m0 时，试讨论 y=f(x)的零点的个数； QQ 群 545423319 - 9 - 例6. 设函数 1 1 ln ( )lnln() x f xxx

9、x ，是否存在实数a，使得关于x的不等式 ( )af x 的解集为0 + （ ，）？若不存在，试说明理由。 例7. 已知函数 22 21( )-(+ )2 . xx f xaeaxexx当02a时，证明( )f x必有两个零 点 例8. 已知函数 ( )lnf xaxx aR （1）求( )f x的单调区间 （2）求函数( )f x的零点个数，并证明你的结论 QQ 群 545423319 - 10 - 例9. 设常数00,a ，函数 2 ( )ln , x f xax x 对于任意给定的正数,a 证明存在 实数 0 x，当 0 xx 时，0( )f x 例10. 已知函数 .ln xaxxf

10、（1）当1a时，求曲线 xfy 在点 1, 1 f处的切线方程； （2）求 xf的单调区间； （3）若函数 xf没有零点，求a的取值范围. 例11. 已知函数 x eaxxf，其中e是自然对数的底数，Ra. （1）求函数 xf的单调区间； （2）当1a时，试确定函数 2 xaxfxg的零点个数，并说明理由. QQ 群 545423319 - 11 - 例12. 已知函数 .0 1 lna x xaxf （1）求函数 xf的单调区间； （2）若 cbxfx,0 cb其中，求a的取值范围，并说明.1 , 0,cb 分析 cbxfx,0 的形式类似不等式的解集，问题即转化为研究方程的根，即转化为 研

11、究函数的零点范围. 例13. 已知函数 2 ( )(2)ln22f xxaxaxa，其中2a （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x在(0,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围。 例14. 已知关于x的函数( ) (0) x axa f xa e ， （1）当1a 时，求函数( )f x的极值； （2）若函数( )( ) 1F xf x没有零点，求实数a的取值范围。 QQ 群 545423319 - 12 - 例15. 已知函数 （1）若曲线( )yf x在点( , ( )a f a处与直线yb相切，求a与b值； （2）若曲线( )yf x与直线yb有两个不同交点，

12、求b的取值范围。 例16. 已知函数( ) lnf xaxx ，()aR （1）求函数( )f x的单调区间； （2）试求函数( )yf x的零点个数，并证明。 QQ 群 545423319 - 13 - 专题专题四四 隐零点问题整体代换隐零点问题整体代换 例1. 设函数 =2 x f xeax (1)求 f x的单调区间 (2)若1a ，k为整数，且当0x 时， 10xk fxx ，求k的最大值 例2. 已知函数 lnf xaxxx的图像在点xe（e为自然对数的底数）处的切线斜率为 3 (1)求实数a的值 (2)若kZ，且 1 f x k x 对任意1x 恒成立，求k的最大值 例3. 若对于

13、任意 0x ， 2 ln10 x xekxx 恒成立，求k的取值范围。 QQ 群 545423319 - 14 - 例4. 已知函数 =ln x f xexm. （1）设0x 是 f x的极值点，求m,并讨论 f x的单调性； （2）当2m时，证明 0f x . 例5. 已知函数 32 2 1 3 f xxxax在1,0上有两个极值点 1 x 、 2 x ，且 12 xx . （1）求实数a的取值范围； （2）证明： 2 11 12 f x. 例6. 已知aR，函数 2 = x f xeax； g x是 f x的导函数. （1）当 1 2 a 时，求函数 f x的单调区间； （2）当0a 时，

14、求证：存在唯一的 0 1 ,0 2 x a ，使得 0 0g x； （3）若存在实数, a b，使得 f xb恒成立，求ab的最小值. QQ 群 545423319 - 15 - 例7. 已知函数满足满足. （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值. 例8. 已知函数 22 2ln22f xxaxxaxaa，其中0a. （1）设 g x是 f x的导函数，讨论 g x的单调性； （2）证明：存在0,1a，使得 0f x在区间1,内恒成立，且 0f x在区间 1,内有唯一解. 例9. 已知函数 22 =2ln2f xxxaxa，其中0a，设 g x是 f x的导函数. （1）讨论 g x的单调性； （2）证明：存在0,1a，使得 0f x恒成立，且 0f x在区间1,内有唯一解. ( )f x 12 1 ( )(1)(0) 2 x f xfefxx ( )f x 2 1 ( ) 2 f xxaxb(1)ab