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1、数学归纳法,重点难点 重点：理解并熟练运用数学归纳法 难点：数学归纳法的证明思路 初始值n0的确定,基础梳理 1归纳法 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳法,由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的,其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳法，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法,2数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成
2、立；,(2)归纳递推：假设当nk(kN*，且kn0)时结论成立推出nk1时结论也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n(nn0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法,3归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳猜想证明”,课前热身,Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立 Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立 答案：B,2用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为( ) A1 B12 C1222 D12
3、2223 答案：D,A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 答案：C,4凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_. 答案：,考点1 用数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明nk1时命题成立，,要从nk1时待证的目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用“k1”替换恒等式中的所有“n”,【思路分析】 按数学归纳法的步骤进行证明即可,(2)假设nk时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1， 那么，当nk1时， f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f
4、(k) (k1)f(k)k,【失误分析】 数学归纳法证明问题的关键除用上述归纳假设外，还要注意由nk到nk1项数的变化情况，有时不一定就增加一项，,考点2 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；,二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个n值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明,【规律方法】 用数学归纳法证明不等式，推导nk1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法，分析法，综合法均要灵活运用，在证明过程中，常利用不等式的传递性对式子放缩
5、,考点3 归纳、猜想与证明 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：,通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的问题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式,在数列a n与bn中，a11， b14，数列an的前n项和Sn满足nSn1(n3)Sn0,2an1为bn与bn1的等比中项，nN*. (1)求a2，b2的值； (2)求数列an与bn的通项公式,【思路分析】 求an与bn的通项公式，先求an和bn的前几项，猜想出an和bn，最后给出证明,再证bn(n1)2，nN*， 当n1时，b
6、14，等式成立 假设nk时，等式成立， 即bk(k1)2， 那么nk1时，,【方法指导】 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式,考点4 用数学归纳法证明几何问题 平面上有n个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成的区域数为f(n)n2n2.,【思路分析】 关键是nk到nk1的过渡，要想搞清f(k1)比f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第k1个圆被原来的k个圆分成了多少段
7、，每一段把它所在的原平面区域一分为二，为此先求出第k1个圆与原来的k个圆的交点个数即可,【证明】 (1)当n1时，一个圆把平面分成两个部分， 又f(1)12122，所以n1时，命题成立,(2)假设nk时命题成立，即平面内满足条件的k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分 则nk1时，第k1个圆与前k个圆中的每一个各有两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得2k个交点，这2k个交点把第k1个圆分成2k条圆弧，,每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以平面的区域增加2k个，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2， 所以当nk1时命题也成立 由(1)(2)可知，对一切正整数n，命题都成立
8、,方法技巧 1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法,2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法；证明几何命题时，关键在于弄清由nk到nk1的图形变化,3归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写,失误防范 数学
9、归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：,(1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题,(2)递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次,(3)寻找递推关系 在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的 探求数列通项公式时要善于观察式子的变化规律
10、，观察n处在哪个位置,在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚,命题预测 从近几年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，,主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中、高档 预测2013年广东高考可能会以数列、有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力,规范解答,(本题满分12分)(2010高考江苏卷)已知ABC的三边长都是有理数求证： (1)cosA是有理数； (2)对任意正
11、整数n，cosnA是有理数,当n1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cos2A也是有理数. 4分 假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数 当nk1时，,由cos(k1)A cosAcoskAsinAsinkA， sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskA cosAsinkA) (sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，,由和归纳假设，知cos(k1)A与sinAsin(k1)A都是有理数 即当nk1时，结论成立. 11分 综合、可知，对任意正整数n， cosnA是有理数. 12分,【名师点评】 本题有一定难度，考生做的极不理想，错误原因归纳为： (1)对于有理数概念不清，从而不知如何证明；,(2)由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA说明有理数，只说明cosA，coskA是有理数而sinAsinkA未提；有的从sin2kAcos2kA1说明都是错误的,
