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1、1,Chapter 3 泛函分析初步,3.1 线性空间 PP2-5 3.2 线性子空间 P6 3.3 距离空间 PP7-13 3.4 Banach空间 PP14-26 3.5 Hilbert空间 PP27-35 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 PP36-43,现代应用数学手册现代应用分析卷，清华出版社,2,3.1 线性空间,定义(线性空间)：非空集合W ，若满足 (1) W 中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW，有 . . . . . （加法交换群，称为Abel加群，俗称Abel群）,3,(2) 对 X,YW， , C（复数域），有： . . . . 即对数乘封闭， 则称W为线性
2、空间；, C ，W为复线性空间； , R，W为实线性空间。,（接上页）,4,说明：,5,线性算子：,线性空间W上的算子 L 为线性算子 推论： 零状态线性系统 系统算子为线性算子,6,3.2 线性子空间,线性子空间：设 V W，V是W的线性子空间 （V上加法、数乘封闭）,（空间求和直和）,返回,7,3.3 距离空间 （度量空间，Metric Space）,定义：设W ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包括0元）， X,YW 满足以下三条公理： 则 称为W上的距离， 为度量空间。,返回,8,例子：,例1：数域 例2：函数空间,9,例3：向量空间,10,距离空间的收敛问题：,收敛： 定理：
3、在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 （请同学自行证明） 研究点列的轨迹，点迹收敛情况。,11,柯西序列：,柯西序列（Cauchy Sequence） 例子： 点列越来越靠近，无限靠近，靠到哪里呢？ 如果靠到W上，则可惜序列收敛于W 。,12,关于柯西序列的说明：,中任意收敛序列都是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 上,13,距离空间的完备性：,完备度量空间Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛于W 。 说明： 极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限 如何完备化？ 度量空间（W, ）不要求 W 是线性空间,14,3.4 巴拿赫（Banach）空
4、间,15,3.4.1 赋范线性空间,定义（赋范线性空间）：设W 是线性空间，若对 X、YW， ，满足三条公理： 则称 为X 的范数（Norm）。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。,16,赋范空间与度量空间的关系：,17,举 例：,例1：n 维实数空间（有限维空间）,n 维实空间： 范数广义长度,18,例2：离散时间序列空间 l（无穷维空间）,注意：sup为上确界；supp为支撑。,19,例3：连续时间信号空间C a, b（无穷维）,20,赋范线性空间 的包含定理：,21,M氏不等式：,离散序列空间 的Minkovski不等式：,22,连续函数空间Ca,b的Minkovski不等式：
5、,23,强收敛与弱收敛：,强收敛： 弱收敛：依泛函收敛，通常意义下的函数收敛是弱收敛。 例如，Ch1之广义极限，就是一种弱收敛； 强收敛 弱收敛。,( Convergence in Norm ),24,3.4.2 Banach空间,Banach空间：完备的 是Banach空间。 在 中，取 ，则完备。,25,Hlder不等式（连续函数空间）：,返回,26,Banach空间的包含定理：,定理：,高次方可积 低次方可积,27,3.5 Hilbert 空间,外两则： Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定律、实验结论，都可以从一组数学公理出发演绎得到。追求统一观。 泛函分析：属于基于公理的分
6、析体系，不在于计算，而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理解、解释数学物理问题。,28,3.5.1 内积空间（W, ,）,内积：设W为实或复线性空间，若对 X、Y、ZW，C，均有一个实数或复数与之对应，记为 X,Y，满足： 则称X,Y为X与Y的内积，定义了内积的空间为内积空间（ips），记为（W, , ）,29,注：,30,（注意：与教材定义形式有所不同）,31,3.5.2 希尔伯特空间,若由内积导出的范数 （欧氏范数）存在，则内积空间亦为赋范线性空间。 有限维内积空间必完备： 完备。 完备，可定义内积 。 Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。 Hilb
7、ert空间是特殊的Banach空间：ipden 举例：能量有限信号、物理空间、,返回,32,C-S不等式：,Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间， X,YW，有 说明：在Hlder不等式中，取 ，则成为Cauchy-Schwarz不等式。 注：在 空间中，C-S不等式变为： 注：在 空间中， C-S不等式变为：,33,3.5.3 线性泛函,算子：X、Y 为线性空间，算子： 其中， 为定义域， 为值域。,34,数域（Number Field）：包括0、1且对四则运算封闭的集合。 泛函（Functional）：值域是实数域或复数域的算子称为泛函。是一般空间数域空间的映射。 例如：定积分
8、、内积、 函数（广义函数定义）、范数、距离、（普通）函数均为泛函。 线性算子：X、Y 为线性空间， 若对 有： 则 T 为线性算子。,35,线性泛函：线性算子 T 的值域为实数集/ 复数集。 范数、距离、一般函数都是泛函，但不是线性泛函。 连续线性算子 T （如图） 对线性算子：有界 连续 算子界：T: XY (L, S) M 0, 使|TX|y M|X|x 则 T 为有界算子。 |TX|/|X|为算子的范数。 内积为连续线性泛函 积分算子,逐点连续 依范数连续,36,3.6 完备规范正交集上的 广义傅里叶展开,37,3.6.1 正交（Orthogonal）,定义：在内积空间W 中，若 ，满足
9、 ，则称 正交，记为 。其中 k 为常数， 为 Kronecker 符号： 正交子集： 中任意两个元正交。,38,集合正交：,规范正交完备集V： （正交） （规范） （完备）,返回,39,Hilbert空间性质：,定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。 定理：W 是Hilbert空间， ，V 是W 的正交子集。,（直和）,40,3.6.2 正交投影 （Orthogonal Projection）,Motive：,41,3.6.3 广义傅里叶展开,广义傅里叶展开：设 是Hilbert 空间W 的规范正交完备集，则对 其中： 称为广义傅里叶系数。 注： 是Hilbert空间W 的规范且完备的
10、一组正交基。 是 X 在 上的投影。,42,Parseval 等式 设： 则： 物理解释：信号总能量各分量的能量之和。 几何解释：广义勾股定理。,43,用 N 项广义傅里叶展开逼近 X： 设 是Hilbert 空间W 的规范正交完备集： X在 上的投影： 。 这里 规范正交，但不完备。,44,End of Chapter 3 Thx 4 Ur Attention. A Big Bow ,45,广义函数的定义,广义函数函数序列的某种极限。 若函数列 、函数 f (x) 对 均有 即： 则称： 的弱极限，一种广义极限； 亦称： 弱收敛于 f (x)； 亦称： f (x)是 D()上的广义函数。,46,完备性概念,
