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1、1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了 解反证法的思考过程、特点.,1.直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 结论 ，这种证明方法叫做综合法. 框图表示： (其中P表示条件，Q 表示要证结论).,推理论证,成立,(2)分析法 定义：从 出发，逐步寻求使它成立的 直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明 方法叫做分析法. 框图表示：,结论,充分条件,2.间接证明 反证法：假设
2、原命题 ，经过正确的推理，最 后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法.,不成立,矛盾,提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程.,思考探究 综合法和分析法有什么区别和联系？,1.设alg2lg5，bex(xb B.ab C.ab D.ab,解析：alg2lg51， xb.,答案：A,2.用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a、 b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( ) A.a、b都能被5整除 B.a、b都不能被5
3、整除 C.a、b不都能被5整除 D.a不能被5整除,解析：用反证法证明命题应先否定结论.,答案：B,3.设a，bR，已知p：ab；q：( )2 ，则p是 q成立的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析：p：ab是q：( )2 等号成立的充分条件.,答案：B,4.已知a，b是不相等的正数，x ，y ， 则x，y的大小关系是 .,解析：y2( )2ab x2. xy.,答案：xy,5.若abc，则 的最小值是 .,解析：由abc，知ab0，bc0，ac0， 则 2 224. 当且仅当bcab，即ac2b时，等号成立.,答案：4,综合法是“
4、由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”.,已知xyz1，求证：x2y2z2 .,思路点拨,课堂笔记 x2y22xy，y2z22yz， z2x22zx， (x2y2)(y2z2)(z2x2)2xy2yz2zx， 3(x2y2z2)x2y2z22xy2yz2zx， 即3(x2y2z2)(xyz)21， x2y2z2 成立.,1.分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分 析，逐渐地靠近已知. 2.用分析法证“若P
5、则Q”这个命题的模式是： 为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有 这只需证明命题P2为真，从而有 这只需证明命题P为真. 而已知P为真，故Q必为真.,特别警示 用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错.,已知a0，求证： a 2.,思路点拨,课堂笔记 要证 a 2，只要证 2a . a0，故只要证 ， 即a2 4 4a22 2 (a )2，,从而只要证 2 (a )， 只要证4(a2 )2(a22 )， 即a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.,1.适宜用反证法证明的数学命题有： (1)结论本身以否定形式出现的一类命题； (2)关于唯一性、存在性的命题； (3)
6、结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题； (5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰.,2.用反证法证明问题的一般步骤为： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否 定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理， 导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设” 的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. (结论成立),特别警示 用反证法证明问题时要注意以
7、下二点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.,已知a0，b0，且ab2，求证： 中至少有一个小于2.,思路点拨,课堂笔记 假设 都不小于2， 则 2， 2， a0，b0， 1b2a,1a2b， 11ab2(ab)，即2ab. 这与已知ab2矛盾，故假设不成立. 即 中至少有一个小于2.,以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法
8、、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009辽宁高考)(12分)如图， 已知两个正方形ABCD和DCEF不 在同一平面内，M，N分别为AB， DF的中点. (1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.,【解】 (1)取CD的中点G，连结MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MGCD，MG2，NG .(4分) 因为平面ABCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF.,可得MGNG. 所以MN .(6分) (
9、2)证明：假设直线ME与BN共面， 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.(8分),又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.(10分) 又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立. 所以ME与BN不共面，它们是异面直线.(12分),自主体验 已知数列an和bn满足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列； (2)证明：当18时，数列bn是等比数列； (3)设Sn为数列bn的前
10、n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都是Sn12？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.,解：(1)证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a1a3，即( 3)2( 4) 249 2490，矛盾，an不是等比数列. (2)证明：bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1 ( an2n14) (1)n(an3n21) bn.又18b1(18)0.由上式知bn0， (nN*).故当18时，数列bn是以(18)为首项， 为公比的等比数列.,(3)当18时，由(2)得bn(18)( )n1，于是Sn (18)1( )n. 当18时，bn0，从而Sn0，Sn12恒成立. 当18时，
11、要使对任意正整数n，都有Sn12， 即 (18)1( )n12,12，的取值范围为(，6).,1.a，b，c为互不相等的正数，且a2c22bc，则下列关 系中可能成立的是 ( ) A.abc B.bca C.bac D.acb,解析：由a2c22ac2bc2acba，可排除A、D，令a2，c1，可得b ，可知C可能成立.,答案：C,2.用反证法证明“如果ab，那么 ”假设内容应是 ( ) A. B. C. 且 D. 或,解析： 的否定形式为 .,答案：D,3.要使 成立，则a，b应满足 ( ) A.ab0且ab B.ab0且ab C.ab0且ab D.ab0且ab或ab0且ab,解析：要使 成
12、立， 只要 成立， 即ab3 3 ab成立， 只要 成立， 只要ab2a2b成立， 即要ab(ba)0成立， 只要ab0且ab或ab0且ab成立.,答案：D,4.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在 平面内，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy” 为真命题的是 (填所有正确条件的代号). x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为 直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z 为直线.,解析：由空间位置关系的判定及性质可知正确.,答案：,5.方程f(x)x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x) 有唯一 不动点，且x11000，xn1 (nN*)， 则x2010 .,解析：由 x得ax2(2a1)x0.因为f(x)有唯一不动点， 所以2a10，即a . 所以f(x) ，所以xn1 xn . 所以x2010x1 20091000 .,答案：,6.若a、b、c是不全相等的正数， 求证：lg lg lg lgalgblgc.,证明：要证lg lg lg lgalgblgc成立， 即证lg( )lg(abc)成立
