《高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 一元二次不等式及其解法,1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的最高次数是_的不等式叫做一 元二次不等式.,2,2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表,x|xx2,xR|x,x|x1xx2,R,在不等式ax2+bx+c0(a0)中，如果二次项系数a0，则可先根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.,1.不等式(x+2)(x-1)4的解集为( ) (A)(-,-2)(3,+) (B)(-,-3)(2,+) (C)(-2,3) (D)(-3,2) (2)(2013广东高考)不等式x2+x-20的解集为 .,考向 1 一元二次不等式的解法,2.函数f
2、(x)= 的定义域为( ) (A)0,3 (B)(0,3) (C)(-,03,+) (D)(-,0)(3,+) 【解析】选A.依题意有3x-x20，解得0x3，即定义域为0,3.,3.关于x的不等式ax2+bx+20的解集是 则a+b=( ) (A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14 【解析】选D.由题意 是方程ax2+bx+2=0的 两个根，所以 解得a=-12，b=-2,故 a+b=-14，选D.,【典例1】(1)(2013大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b)，如果不等式f(x)0的解集是(-1,3)，则不等式 f(-2x)0的解集是( ) (A)(-, )( ,+
3、) (B)( , ) (C)(-, )( ,+) (D)( , ),4.不等式4x2-mx+10对一切xR恒成立，则实数m的取值范围是_. 【解析】依题意，应有=(-m)2-4410, 即m2-160，解得-4m4. 答案：-4,4,(3)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.,【思路点拨】(1)根据不等式解集的端点与相应方程的两根 之间的关系,建立方程组求得a,b的值,再解不等式f(-2x)0. (2)本题考查二次不等式的解法,注意应用口诀“小于取中间”. (3)首先对a的符号进行分类讨论,在每一种情况中,如果有必 要再按照根的大小进行讨论.,【规范解答】(1)选A.不等式f(x)0，
4、 即(ax-1)(x+b)0，其解集是(-1，3)，所以 解得 于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)0即为 (2x-1)(-2x-3)0， 解得 或 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)0,解得-2x1,解集为x|-2x1. 答案:x|-2x1,(3)当a=0时，原不等式变为-x+11. 当a0时，原不等式可化为 若a1或 . 若a0，则上式即为 ()当 即a1时，原不等式的解集为 ()当 即a=1时，原不等式的解集为； ()当 即0a1时，原不等式的解集为,综上所述，原不等式解集为： 当a1； 当a=0时，x|x1； 当01时，,【规律方法】解含参数的一元二次不等
5、式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系 (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.,【变式训练】(1)(2013绍兴模拟)不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,1),则不等式ax2+(a+b)x+c-a0的解集为( ) (A)(-,- )( ,+) (B)(-3,1) (C)(-1,3) (D)(-,-3)(1,+),【解析】选D.由题意
6、,不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,1), a0,(x+3)(x-1)0, x1.,(2)解关于x的不等式(1ax)21. 【解析】由(1ax)21，得a2x22ax0， 即ax(ax2)0，当a0时，x； 当a0时，由ax(ax2)0，得 即 当a0时， 综上所述：当a0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式 解集为 当a0时，不等式解集为,考向 2 一元二次不等式的恒成立问题 (2)已知函数f(x)=x2+ax+3. 当xR时,f(x)a恒成立,求a的范围. 当x-2,2时,f(x)a恒成立,求a的范围.,【思路点拨】(1)因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零, 直接求解即可. (
7、2)可直接利用判别式0求解.可转化为求f(x)-a在 -2,2上的最小值,令其最小值大于或等于0即可.,(2)f(x)a即x2+ax+3-a0，要使xR时，x2+ax+3-a0恒成立， 应有=a2-4(3-a)0，即a2+4a-120， 解得-6a2. 当x-2,2时，设g(x)=x2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论： ()当 即a4时，g(x)在-2,2上单调递增，g(x) 在-2,2上的最小值为g(-2)=7-3a，因此 a无 解；,()当 即a-4时，g(x)在-2,2上单调递减，g(x)在-2,2上的最小值为g(2)=7+a， 因此 解得-7a-4； () 即-4a4时，g(x)在
8、-2,2上的最小值为 因此 解得-4a2. 综上所述，实数a的取值范围是-7a2.,【互动探究】本例(2)中，若对一切a-3，3，不等式 f(x)a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？ 【解析】不等式f(x)a即x2+ax+3-a0. 令g(a)=(x-1)a+x2+3， 要使g(a)0在-3,3上恒成立，只需 即 解得x0或x-3.,【规律方法】恒成立问题的两种解法 (1)更换主元法 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解
9、.,(2)分离参数法 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，af(x)恒成立时，应有af(x)max，af(x)恒成立时，应有af(x)min.,【加固训练】若函数f(x)= 的定义域为R，则实 数m的取值范围是( ) (A)(-, ) (B)0, ) (C)( ,+) (D)(- , ) 【解析】选B.依题意mx2+4mx+30对一切xR恒成立.当m=0时 显然成立；当m0时应有=16m2-12m0，解得 综 上，实数m的取值范围是,【易错误区15】分段函数解不等式问题的易错点 【典例】(20
10、13江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数. 当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示 为 .,【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0, 又当x0,所以f(-x)=x2+4x. 又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-x2-4x(x0), 所以f(x)=,(1)当x0时，由f(x)x，得x2-4xx，解得x5. (2)当x=0时，f(x)x无解； (3)当xx，得-x2-4xx. 解得-5x的解集用区间表示为(-5,0)(5,+). 答案：(-5,0)(5,+),【误区警示】 1.处对于x=0时的情况漏掉分析而导致不
11、全面. 2.处利用奇函数求x0的解析式时求解错误.,【规避策略】 1.利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域，若在0处有定义，则奇函数中必有f(0)=0. 2.利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)的解析式，因此要正确利用奇偶性转化求解析式.,【类题试解】(2013四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是 .,【解析】依据已知条件求出y=f(x),xR的解析式,再借助y=f(x)的图象求解. 设x0. 当x0时,f(x)=x2-4x, 所以f(-x)=(-x)2-4(-x). 因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f
12、(-x)=f(x),所以f(x)=x2+4x(x0)，故f(x)= 由f(x)=5得 得x=5或x=-5. 观察图象可知由f(x)5，得-5x5. 所以由f(x+2)5，得-5x+25，所以-7x3. 故不等式f(x+2)5的解集是x|-7x3. 答案：x|-7x3,1.(2013宁波模拟)函数 的定义域是( ) (A)0,1) (B)0,1 (C)0,4) (D)(4,+) 【解析】选A.依题意有 解得 所以0x1，即函数定义域是0,1).,2.(2013温州模拟)若函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意xR恒有f(x)0，则f(1)等于( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【解
13、析】选C.依题意得a2-4(-3a-9)0,即a2+12a+360，所以(a+6)20,必有a=-6,这时f(x)=x2-6x+9,故f(1)=4，故选C.,3.(2013绍兴模拟)已知函数 若f(x)1,则x的取值范围是( ) (A)(-,-1 (B)1,+) (C)(-,01,+) (D)(-,-11,+) 【解析】选D.当x0时，由x21,得x-1; 当x0时，由2x-11,得x1. 综上可知，x(-,-11,+).,4.(2013衢州模拟)已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( ) (A)(2，+) (B)(-2,+) (C)(-,-3) (D)(-,-3)(2,+),【解析】选A.原不等式等价于(a2)x24xa10对一切 实数恒成立，显然a2时，解集不是R，不合题意，从而有 解得 所以 解得a2. 故a的取值范围是(2，),6.(2013湖州模拟)已知函数 则满足不等 式f(3-x2)f(2x)的x的取值范围为( ) (A)-3，0) (B)(-3，0) (C)(-3，1) (D) 【解析】选B.由函数图象可知，不等式的解为 或 解得 或 即x(-3,0),故选B.,
