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1、,运筹学 Operations Research,Chapter 1 线性规划 Linear Programming,1.1 LP的数学模型 Mathematical Model of LP 1.2 图解法 Graphical Method 1.3 标准型 Standard form of LP 1.4 基本概念 Basic Concepts 1.5 单纯形法 Simplex Method,1.1 数学模型 Mathematical Model,2019年1月15日星期二,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,线性规划（Linear Programmin
2、g,缩写为LP）确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。,2019年1月15日星期二,【例1-1】生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙两种产品。按工艺资料规定，每件产品甲需要消耗材料A 2公斤，消耗材料B 1公斤，每件产品乙需要消耗材料A 1公斤，消耗材料B 1.5公斤。已知在计划期内可供材料分别为40、30公斤；每生产一件甲、乙两产品，企业可获得利润分别为40、30元，如表11所示。假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematic
3、al Model of LP,1.1.1 应用模型举例,2019年1月15日星期二,【解】设x1、x2分别为甲、乙产品的产量，数学模型为：,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,表1-1,2019年1月15日星期二,线性规划的数学模型由,决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。,其特征是： 1解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性
4、规划模型？,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。,表1-2 营业员需要量统计表,商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,【解】 设xj(j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Mo
5、del of LP,2019年1月15日星期二,最优解：,Z617（人）,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,【例1-3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负
6、整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1-3所示。,表1-3 下料方案,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,设xj(j=1,2,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:,求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15
7、日星期二,Z812.5,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,【例1-4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。,表1-4 矿石的金属含量,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期
8、二,解: 设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模型,注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,最优解：,Z=347.5,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,【例1-5】投资问题。某投资公司拟将5000万元
9、的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。,表15 证券投资方案,决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。问每种证券各投资多少使总收益最大。,2019年1月15日星期二,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,解 设xj(j=1,2,，6)为第j种证券的投资额，目标函数是税后总收益为,资金约束：,国债投资额约束：,平均评级约束：,平均到期年限约束：,2019年1月15日星期二,整理后得到线性规划模型,1.1 线性规划的数学模型 Mathem
10、atical Model of LP,2019年1月15日星期二,【例1-6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。 【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是,设备A、B每天加工工时的约束为,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一
11、种设备1小时的约束为,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,目标函数线性化。产品的产量y等价于,整理得到线性规划模型,约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,1.1.2 线性规划的一般模型 一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线
12、性规划数学模型的一般表达式可写成,为了书写方便，上式也可写成：,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,2019年1月15日星期二,1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式。,作业：教材习题 1.11.6,1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP,下一节：图解法,1.2 图解法 Gr
13、aphical Method,2019年1月15日星期二,图解法的步骤：,1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动,1.2 图解法 The Graphical Method,2
14、019年1月15日星期二,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(300,400),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=8500,例1-7,1.2 图解法 The Graphical Method,2019年1月15日星期二,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1) 最优值Z=5,(3,1),min Z=x1+2x2,例1-8,(1,2),1.2 图解法 The Graphical Method,2019年1月15日星期二,2,4,6,x1,x2,2,4,6,X（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),min Z=5x1+5x2
15、,例1-9,有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为,01,当=0.5时 =(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),1.2 图解法 The Graphical Method,2019年1月15日星期二,2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1-10,1.2 图解法 The Graphical Method,2019年1月15日星期二,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解 即无最优解,max Z=10x1+4x2,例1-11,1.2 图解法 The Graphical
16、Method,2019年1月15日星期二,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1-7例1-8),2.有多重解(例1-9),3.有无界解(例1-10),4.无可行解(例1-11),1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解,1.2 图解法 The Graphical Method,2019年1月15日星期二,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动,作业：教材习题 1.7,1.2 图解法 The Graphical Method,下一节：线性规划的标准型,1.3 线性规划
