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1、考点36 基本不等式1若正数x,y满足x+3y=5xy，当3x+4y取得最小值时，x+2y的值为（ ）A 245 B 2 C 285 D 5【答案】B 2抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（ ）A 118 B 54 C 32 D 1【答案】A【解析】由题意设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，直线AB的方程为y=kx+b，联立方程y=kx+by=2x2，整理得2x2-kx-b=0=k2+8b0，x1+x2=k2，x1x2=-b2，AB=1+k2k24+2b点M的纵坐标y0=y1+y22=x12+x22=k24+b，(y00)弦AB的长度
2、为31+k2k24+2b=3，即(1+k2)(k24+2b)=9 3已知实数x、y，满足x2+y2=4，则xy的取值范围是A xy2 B xy2C xy4 D -2xy2【答案】D【解析】由x2+y2=42|xy|，知-2xy2，故选D.4若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A (-,-2)4,+) B (-,-42,+)C (-4,2) D (-2,4)【答案】C【解析】因为正实数x,y满足2x+1y=1，所以2x+1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy4+24yxxy=8，当且仅当4yx=xy时，即x=4,y=2时取得最小值
3、8，因为x+2ym2+2m恒成立，所以8m2+2m，即m2+2m-80，解得-4m1+334 B a1+334 C 0a1+334 D 1+334ay,x+2y=3,则1x-y+9x+5y的最小值为( )A 83 B 3 C 32 D 233【答案】A【解析】因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,所以1x-y+9x+5y=16(1x-y+9x+5y)6=16(1x-y+9x+5y)(x-y)+(x+5y)=16(10+x+5yx-y+9(x-y)x+5y)16(10+29)=83，当且仅当x=2,y=12时取最小值.故答案为：A10设x、y均为正实数，且32+
4、x+32+y=1，则xy的最小值为（ ）A 4 B 43 C 9 D 16【答案】D【解析】将等式化简可得：xy-8=x+y2xy，解得：xy4，所以xy16，所以最小值为16.故选D.11在面积为1的ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，点P在直线MN上，则PCPB+BC2的最小值是（ ）A 1 B 2 C 3 D 2【答案】C 12若正实数x,y满足3x+9y=12xy-4，则2x8y的最小值为（ ）A 8 B 16 C 162 D 32【答案】B 13已知a,b0，且ab=a+b+8，则ab的取值范围是_.【答案】16,+【解析】正数a,b,a+b2ab，ab=a+b+8，ab-2ab
5、-80，ab4或ab-2（空集），ab16，故答案为16,+.14已知ab0,a+b=5，则2a+1+1b+1的最小值为_【答案】3+227【解析】因为ab0,a+b=5知a0,b0，又a+1+b+1=7，所以17(a+1+b+1)=1，而2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1) =17(3+2(b+1)a+1+a+1b+1)17(3+22)，经检验等号成立,故填3+227.15大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。如图所示，已知ABE=,ADE=，垂直放置的标杆BC的高度h=4米，大雁塔高度H=64米.某数学兴
6、趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与,的关系.该小组测得,的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使与的差较大时，可以提高测量精确度，求-最大时，标杆到大雁塔的距离d为_米. 【答案】1615. 16设C满足约束条件3x-y-60x-y+20x0,y0若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12，则2a+3b的最小值为_【答案】256【解析】根据约束条件绘制可行域如图所示； 17在ABC中，AB=2m,AC=2n,BC=210,AB+AC=8, E,F,G分别为AB,BC,AC三边中点，将BEF,AEG,GCF分别沿EF,EG,GF向上折起，使A,B,C重合，
7、记为S，则三棱锥S-EFG的外接球面积的最小值为_.【答案】9【解析】由题意得三棱锥S-EFG的对棱分别相等， 18设f(x)=lg(x-1)，若0ab且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围_【答案】 4,+【解析】先画出函数fx=gx-1的图象，如图，0ab，且fa=fb， 19已知a，b，c为正数，且fx=x-1+x-2（1）求函数fx的最小值m；（2）若a+b+c=m，求a2+b2+c2的最小值【答案】（1）1（2）13【解析】（1）fx=x-1+x-2x-1+2-x=1当且仅当x-12-x0，即1x2时，等号成立，m=1（2）因为a+b+c=1，所以1=a2+b2+c2+2ab+2b
8、c+2aca2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3a2+b2+c2，所以a2+b2+c213，当且仅当a=b=c=13时等号成立，故a2+b2+c2的最小值为1320某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须
9、由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为p(0p1)，且相互独立若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；若以中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润X（单位：元）的期望【答案】（1）2155；(2)p0=14，72由题设知，p=p0=14设这箱芯片不合格品个数为n则nB(12，14) 故E(n)=1214=3 则E(X)=120-12-30-32=72 这箱芯片最终利润X的期望是72元21选修4-5：不等式选讲已知定义在R上的函数fx=x-m+x，m
10、N*，若存在实数x使得fx1，f+f=6求证：4+194。【答案】（1）m=1（2）见解析当且仅当4=，即=83，=43时“”成立，故4+19422已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的顶点坐标分别为A1(-2,0)、A2(2,0)，且对于椭圆上任意一点M（异于A1、A2），直线MA1与直线MA2斜率之积为-12.（I）求椭圆的方程；（II）如图，点P-1,12是该椭圆内一点，四 边形ABCD(AB/CD)的对角线AC与BD交于点P.设直线AB:y=x+m，记Sm=S2PAB.求f(m)=g(m)-23m3+4m-3的最大值.【答案】（I）x24+y22=1；（II）2532.又直线AB不
11、过点P(-1,12)，得m32 23已知a0，b0，函数f（x）xa2xb的最小值为1（1）证明：2ab2；（2）若a2btab恒成立，求实数t的最大值【答案】（1）证明：-ab2 f(x)=-3x-a+b,xb2，显然f(x)在(-,-b2)上单调递减，在b2,+上单调递增，所以f(x)的最小值为f(b2)ab21，即2ab2.；（2）92【解析】（1）证明：-ab2 f(x)=-3x-a+b,xb2，显然f(x)在(-,-b2)上单调递减，在b2,+上单调递增，所以f(x)的最小值为f(b2)ab21，即2ab2. （2）因为a2btab恒成立，所以a+2babt恒成立，a+2bab1b2
12、a12 (1b+2a)(2ab)12 (5+2ab+2ba)92，当且仅当ab23时，a+2bab取得最小值92.所以t92，即实数t的最大值为92.24已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),其离心率e=32,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为3,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,点E满足QE=12QP,设点E的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;（2）若直线l与曲线相切,且交椭圆于A、B两点, C-1,0,D1,0,记ABC的面积为S1, ABD的面积为S2,求S1S2的最大值 .【答案】(1) x2+y2=1 (2) 34 则x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2 (x1+x2)2-4x1x2=1+k2 (-8km4k2+1)2-4(4m2-4)4k2+1= 41+k24k2-m2+14k2+1
