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1、,一条 件 概 率,某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有100人为疑似病人，有10人为非典病人，其中 5人为由疑似病人转为非典病人。 求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率,第 五节 条 件 概 率,引例1,解:,设 事件 A= 非典病人，,事件 B= 疑似病人,则此时 S=1,2,10000,显然：,这是没有附加条件的概率（无条件概率）,（千分之一）,(1) 若求 P(A),（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p,这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，,则此时不妨设 S=1,2,100，,由题意可得：,这是附加了条件 B 的概率（有条件概率）,此题的结论：,该地区由疑似病人转为
2、非典病人的概率为 5%，要比没有附加“疑似病人 ”时的概率大50倍。,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于现在已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间。,在10000个人中： 100个疑似病人，10个非典病人 5个由疑似病人转为非典病人,引例 2. 10件产品中有7 件正品，3 件次品，7 件正品 中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任 取一件，,B=取到正品,记: A=取到一等品，,P(A|B),注: 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变,
3、 只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,提出三个问题：,对于一般具有附加条件的概率问题 是否也一定具有引例中的表达形式 ？,由条件概率的概念是否可以得出两 个事件乘积的概率？,无条件概率 P(A)、条件概率 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？,1. 定义：设 A ,B是两个事件, 则称 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率, 其中, 条件概率符合概率定义中的三个条件：, 对每个事件 B, 有:, 设有 是两两互不相容的, 则有,非负性,规范性,可列可加性,2性质,在第三节中概率的性质1 性质 5 对条件概率都成立, 其它相关的性质请见常用的有：,1) 用定义计算:,P(B)
4、0,2)从加入条件后改变了的情况去计算:,则: P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,比如：,求：,-36 种,-3 种,解：依题意,样本空间,- 15种,例1,在样本空间 S 中计算 P(B), P(AB) 然后依 公式 计算,从而:,方法 1:,在缩减的样本空间 或 中计算A或B出 现的概率就可得所求的条件概率(这种方法 适合简单的问题),在缩减的样本空间 中看：A中有3个基本事件,其中只有(6,4)是B中包含的基本事件, 故有:,在缩减的样本空间 中看：B中有15个基本事件, 故有:,方法2：,由条件概率的定义：,二. 乘法原理,
5、若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,设 P(B)0 或 P(A)0，则:,注：乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：,其中: P(AB) 0,即有：,定理1：,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是 乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标 准件，现从这1000个零件中任取一个， 问: (1)这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ (2)发现它是乙厂生产的, 则它是标准件的概率是 多少？,则: (1) 所求的问题 P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,B=零件是乙厂生产,A=是标准件,(2) 所求的问题
6、P(A|B),解: 若设:,例2 不讲,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为 0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多 少？,设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A) = 0.8, P(B) = 0.4,所求为 P(B|A) .,例3,解：,无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B) 及 P(AB) 的区别,归 纳,一个罐子中包含b 个白球和 r 个 红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 试求：第一、二次取到白球且第 三、四次取到红球的概
7、率.,例 4 波里亚罐子模型,随机取一个球，观 看颜色后放回罐中， 并且再加进C 个与 所抽出的球具有相 同颜色的球.,解: 设Wi= 第 i 次取出是白球 , i =1, 2, 3, 4,Rj= 第 j 次取出是红球 ， j =1, 2, 3, 4,用乘法公式容易求出：,= P(W1) P(W2|W1) P(R3|W1W2) P(R4|W1W2 R3),P (W1W2 R3 R4 ),于是：W1W2 R3 R4 表示事件 “连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容 易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽 签的方法来解决。,5 张同
8、样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。 将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽取,例5.,问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗?,到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到 入场券 的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然： P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则： 表示“第 i 个人未抽到入场券”,因为若第2个人 抽到了入场券， 则第1个人
9、肯定 没抽到.,由于：,所以由乘法公式 ：,计算得:,这就是有关抽签顺序问题的正确解答:,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2 个人都没有抽到. 因此：,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的 概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,由乘法 公式,箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优 名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶,问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?,解：设,例 6,显然, 所求事件的概率为：,从而：,而：,
10、10瓶名酒，其中 部优7瓶，国优3瓶， 第一人拿到两瓶 优名酒同时第二 人拿到部 优、国 优名酒各一瓶,第 三个拿到两瓶国 优名酒,例7设某光学仪器厂制照的透镜,第一次落下时 打破的概率为 ，若第一次落下时未打破,第 二次落下破的概率为 , 若前两次落下未打 破, 第三次打破的概率为,试求：透镜落下三次未打破的概率。,解：设,解法1.,因为：,所以有：,解法2.,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三.全概率公式和贝叶斯公式,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(
11、B) A、B互斥,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求: 取得红球的概率.,解：记 Ai= 球取自i号箱, i=1, 2, 3; B = 取得红球,即: B= A1B+A2B+A3B， 且: A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式,引例,注意到：,将此引例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的 全概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B
12、)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)= 8/15,注：S 的一个划分一是要互斥， 二是要充满整个空间.,1样本空间的划分,定义：,E的一组事件,是S的一个划分或 构成了互斥 事件完备组,E的另一组事件,就不是S的一各划分，或 构不 成一个互斥事件完备组。,对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：,比如：,证明：,称为全概率公式,2. 全概率公式,定理2, 全概率公式关键抓住寻找S的一个划分或寻 找一个互斥事件完备组(这里事件 是导致事件A发生的一组原因,而事件A的出 现只能与 中之一同时出现)。,注：,每一原因都可能导致 B发生，故 B发 生的概率是各原因引起 B发生概率的
13、 总和即为全概率公式., 全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件概 率”的问题。即P(A)不易求,但却很容易找到S 的一个划分时用全概率公式比较方便,设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个 白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入 乙袋中,再从乙袋中任取一球。,求：从乙球中取得白球的概率。,设A：从乙袋中取得白球,取球只有两种情况，要么白球要么红球,所以设：,例8,解：,因为:,显然：,构成一个互斥事件完备组,例9.,因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：,从而：,解：,取出的一件是次品,显然:,四条流水线产量(率): 15%, 20%, 25%, 40% 四条流水线次品(率): 0.
14、01, 0.02, 0.03, 0.025,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求:飞机被击落的概率.,P(B)= P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B |A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B = A0B + A1B + A2B + A3B,设B= 飞机被击落 Ai= 飞机被i人击中, i=0,1,2,3,解:,为求P(Ai ) ,例 10.,设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,由全概
15、率公式：,可求得:,P(A0) = 0; P(A1) = 0.36; P(A2) = 0.41; P(A3) = 0.14.,P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),即飞机被击落的概率为 0.458.,将数据代入计算得:,于是：,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,引例 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱 装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任 意摸出一球，发现是红球。,求：该球是取自1号箱的概率,引例,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该 球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求: P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到：,贝叶斯公式,3贝叶斯公式 ( 逆概公式 ),设试验 E 的样本空间为 S, A为 E 的事件,称为贝叶斯 ( Bayes ) 公式,证明：略.,贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用,
