气体分子碰壁数及其应用

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1、2.5 气体分子碰壁数及其应用,1.6.2 已用最简单的方法导出了单位时间内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数的近似公式。 在推导中简单地在把立方容器中的气体分子分为相等的六组，每一组都各垂直于一个器壁运动，且认为每一分子都以平均速率运动。 本节将用较严密的方法导出（通常有两种方法：一种是利用速率分布；另一种是利用速度分布，这里仅介绍速度分布法）。 接着利用麦克斯韦速度分布来证明气体压强公式。 最后本节将介绍气体分子碰壁数的一些重要应用。,2.5.1 由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式 简并压强,若容器内装有分子数密度为n的理想气体。内壁上有一dA的面积元。 现以dA的中心O为原

2、点，画出一位置直角坐标，其x 轴垂直于dA 面元，如图所示。 为了表示容器内气体分子的速度方向，还引入一个速度坐标。,（一）证明,速度坐标的方向正好与以O为原点的位置坐标方向相反如图所示。,显然，在容器中处于位置坐标为vxdt，vydt，vzdt的B点附近的小体积内的气体，只要其速度矢量在V 到V+dV范围内的分子，在dt时间内均可运动到dA面元之相碰。 说明：速度矢量V 到V+dV相应于速度分量区间：vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vx 到vx+dvx 。,实际上，只有在以dA为底、vxdt为高，其母线与BO直线平行的斜柱体中的所有速度V 到V+dV 的分子，在dt时间内均会与d

3、A 碰撞.,从此式可看出，不同的vx ,vy ,vz 对应于不同的斜柱体， 也对应于不同的分子数 dNvx ,vy ,vz ),这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度矢量在V 到V+dV范围内的分子数与斜柱体体积的乘积。,若要求出dt 时间内碰撞在dA面元上所有各种速度分子的总数,则还应对vx积分。 考虑到所有vx0的分子均向相反方向运动，它们不会碰到dA上，所以，vx应从0积分到无穷大。,显然，dt时间内，速度分量在vx 到vx+dvx， -vy，-vz范围内的，碰撞在dA面元上的分子数 dN( vx )等于对vy、vz的积分，,为麦克斯韦分布的平均速率。 单位时间内碰在单位面积上总分子数为,

4、（二） 气体压强公式,气体压强是在单位时间内大数气体分子碰撞器壁而施于单位面积器壁的平均冲量。 一个速度分量为vx、vy、vz的分子，对图中面元dA作完全弹性碰 撞时将施予器壁2mvx的冲量，而与 vy、vz 的大小无关.,若在dt时间内，所有速度分量在 vx 到vx+dvx，-vy，-vz范围内的、碰撞在面元dA上的分子数为 dN（vx），,则所有这些分子由于碰撞而给予面元dA的冲量为,在dt时间内，所有各种速度的分子碰撞在dA上的总冲量为,它与1.6.3中证明的气体压强公式一致。 注意到在气体压强公式的证明中并未利用麦克斯韦分布，说明该式具有普适性。 只要是非相对论的(vc）无相互作用的系

5、统，气体压强公式一般都可适用.,这里已利用了f(vx）是偶函数的性质。 考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌性，故有,将此式代入上面式子，即得,*2.5.2 泻流及其应用（热分子压差、分子束技术及其速率分布、同位素分离、热电子发射）,（一）泻流（effusion） 气体从很小的容器壁小孔中逸出称为泻流。 处于平衡态的气体，在dt时间内，从A面积小孔逸出的分子数,但只要在宏观上很短时间dt内逸 出的气体分子数与容器中总分子 数相比小得多，则分子数密度和平均速率在 t 时刻 有确定数值。,泻流是宏观粒子流，严格说容器中气体处于非平衡态。,（三）分子束和原子束 （atomic beam and m

6、olecular beam）,原子束和分子束是研究原子和分子的结构以及原子和分子同其它物质相互作用的重要手段。 固体、液体和稠密气体中的分子间距较小，有复杂的相互作用，很难研究单个孤立分子的性质。 稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因分子无规运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。 分子束或原子束中，分子或原子作准直得很好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略，利用它来研究分子或原子的性质及其相互作用较为理想。,所以分子束或原子束技术在原子物理、分子物理以及气体激光动力学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间物理、天体物理、生物学中都有重要应用。 它也是研究固体表面结构的

7、重要手段。 在历史上，很多重要实验应用了原子、分子束实验。 例如，在2.3.1中介绍的斯特恩验证麦克斯韦分布实验。 1922年，斯特恩因发现分子束技术及他与革拉赫合作做了斯特恩革拉赫实验，从而发现了质子的磁矩。他单独荣获1943年诺贝尔物理奖。,（四）分子束速率分布 （spead distrbution of molecular beam）,因为从加热炉器壁小孔中逸出的分子就是无碰撞向小孔运动的分子。 在dt时间内从dA面积的小孔逸出的分子数可写为,在2.3.1麦克斯韦分布的实验验证中曾指出，从分子束实验中所测得的分子束速率分布不同于麦克斯韦速率分布，就具体求出麦克斯韦分子束速率分布。,因为气

8、体分子是辐射状地从小孔射出的，从各个方向射出的分子的速率分布相同，所以从小孔射出的总分子数中的速率分布就等于分子束中的速率分布F（v）dv。 ：,将麦克斯韦速率分布表达式代入,由上述积分式可知，其中速率为v 到v +dv 范围内的分子数是,利用气体分子平均速率公式，则分子束速率分布F（v）dv可表示为,分子束速率分布也可用如下方法求得。 因为分子束中的分子处于宏观运动状态（它不同于处于平衡态的理想气体，从宏观上看，平衡态气体的分子均处于静止状态）。 因而分子束的速率分布函数正比于f（v）v。 故,由归一化条件,而对于速率分布，其平均速率为,可知分子束速率分布的归一化系数,它们均比麦克斯韦速率分

9、布中的及要大些。 这是因为气体分子处于动态，因而速度大的分子逸出的机会相对多些,分子束速率分布为,分子束的平均速率及均方根速率分别为,从平均速率公式知，在T一定时平均速率和 m1/2成反比 又从气体分子碰壁数公式看到,质量小的分子平均速率大,因而易于逸出小孔。 这就为同位素分离提供了一种十分有用的方法 若一容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量的可透过气体的小孔。从小孔穿出的分子被抽入收集箱中。 容器中充满质量分别为m1和m2的两种分子所组成的混合理想气体，其分子数密度分别为n1及n2 若m1m2，则容器中m1分子减少的速率大于m2分子减少的速率，从而使容器中的m1分子逐步减小，说明质量大的同位

10、素相对富度将增加。,（五）同位素分离（isotope separation）,而收集箱中质量小的同位素相对富度增加。 核工程就利用这一性质来分离天然铀中的238U（富度99.3%）和235U（富度0.7%）两种同位素。 这样大约需数千级的级联分离，才能获得较纯的235UF6气体。 这是早期分离天然铀所采用的方法。 现在是利用离心分离天然铀的方法。,（六）热电子发射 （thermal electrons emitting）,在生活中和科学技术中有很多热电子发射现象的实例。 自由电子经典模型可知，金属中的自由电子的势能要比金属外空气中的游离电子低W的脱出功。 自由电子脱出金属表面所作的功可由热运动

11、能量提供。 只要从金属内部“碰撞”到金属表面上的自由电子的动能大于W，它就能穿透金属表面进入自由空间，这就是热电子发射现象。,由于位于金属表面的自由电子所受到的晶格离子的吸引力的合力方向是沿金属表面法向指向金属内部的。 若令沿金属表面法向向外的方向定为x正方向，则只有速度分量vx满足vxvxmin条件的自由电子“碰”到金属表面上时才能逸出金属表面。 其中vxmin与脱出功W之间有如下关系,这说明，在单位时间内从单位面积金属表面逸出的电子数应等于在单位时间内“碰撞”在单位面积金属表面上满足 mev2x/2 W 的电子数。 这就是热电子发射强度Je。 若设金属自由电子数密度为n，则利用在推导中利用

12、到的（2.44）式。,在dt时间内，碰撞在dA面积器壁上的，速度分量为vx,到vx + dvx而 vy, vz 为任意的分子的总数为,金属中自由电子不遵从麦克斯韦分布。 但作为近似处理，认为麦克斯韦分布能适用。 将分布函数代入，可得,这是表示热电子发射强度的李查逊（Richardson）公式。,应用量子统计，考虑到电子气体不遵从麦克斯韦分布，所求得的更精确的结果是,现在是,对上面两式作一比较,金属的脱出功W约为几电子伏特。由于1电子伏特相当于7.74103K温度的热运动能量，这相当于数万K温度下的热运动能量。 而金属的熔解温度约为数千度K，说明WkT。 可见式中的指数因子起了主要作用。 至于两式中的另一因子 T1/2 及 T2 的差异对Je所产生的影响已显得不甚重要。 所以，在热电子发射中用麦克斯韦分布所产生误差并不大。,正因为W kT，在室温下vxvxmin的电子数几乎为零，只有在温度较高，且选用W较小的金属时才能明显地看到热电子发射现象。 日光灯管及各种电子管中发射电子的阴极均由灯丝来加热，就是这个原因。 电子发射除利用加热外，也可利用光的照射或施加一定强电场。 前者称光电效应，后者称场致电子发射。 它们的基本原理十分类似，所不同的仅是在单个自由电子热运动能量上再附加上一个光子的能量或电场能量，使总能量超过脱出功W。,