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1、最大 如解图， 过点 作 ， 垂足为 ， 有 那么 四边形 梯形 （ ） （ ） （ ） （ ） 以下同解法一 解法三： 假设存在点 （ ， ） 使得 的面积 最大 例 题解图 如解图， 过点 作 ， 垂足为 ， 作 ， 垂足 为 ， 交 于点 ， 有 直线 的解析式为 ， 于是 的坐标为（ ， ） 因为 ， 所以 是等腰直角三角形 ， 是 等 腰 直 角 三 角 形 （ 或 ） 槡 （ 或 ， 即 槡 ） （ ） 槡 槡 槡 （ ） （ ） （ ） 以下同解法一 【 备考指导】 在解答面积最值的存在、 探究问题 时， 具体方法步骤如下： （ ） 设出点坐标， 求边长 根据题意， 直接或间接
2、设出所求点的坐标 若所求的点在抛物线上时， 该点 的坐标可以设为（ ， ） ； 若所求的点在对称 轴上时， 该点的坐标可以设为（ ， ） ， 若所求的点 在已知直线 上时， 该点的坐标可以设为（ ， ） ， 并用所设点坐标表示相应的边（ 常利用相似 三角形性质或勾股定理求解） ； （ ） 建立关系式， 并计算 观察所求图形的面积能 不能直接利用面积公式求出， 若能， 根据几何图形面 积公式得到点坐标或线段长关于面积的二次函数关 系式； 若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出 时， 则需要根据题意构造相似或全等三角形， 得到对 应线段比或进行线段等量代换得到所求面积关系式； 另外， 若所求图形
3、可分割成几个可直接利用面积公式 计算的图形， 可以分别计算出每个图形的面积， 再进 行和差计算求解； （ ） 结合已知条件和函数图象性质求出面积取最 大值时的点坐标或对应函数自变量的取值范围 针对演练 （ 原创） 已知： 如图， 直线 与 轴交于 点， 与 轴交于 点， 点在 轴上， 是等 腰直角三角形 （ ） 求过 、 、 三点的抛物线的解析式； （ ） 若直线 交抛物线于 点， 求 点的坐 标； （ ） 若 点是抛物线上的动点， 在第一象限内， 是 否存在点 使 有最大面积？若有， 求出此 时 点的坐标和 的最大面积； 若没有， 请说 明理由 第 题图 如图所示， 已知直线 与抛物线 交于
4、 、 两点， 点 是抛物线的顶点 （ ） 求出点 、 的坐标； （ ） 求出 的面积； （ ） 动点 在 段的抛物线上， 是否存在点 使 得 的面积最大？若存在， 请求出点 的坐 标； 若不存在， 请说明理由 第 题图 （ 自贡 分） 如图， 已知抛物线 与 轴相交于 、 两点， 并与直线 交 于 、 两点， 其中点 是直线 与 轴 的交点， 连接 （ ） 求抛物线的解析式； （ ） 证明： 为直角三角形； （ ） 内部能否截出面积最大的矩形 ？ （ 顶点 、 、 、 在 各边上） 若能， 求出最大 面积； 若不能， 请说明理由 第 题图 类型五 图形面积数量关系的存在、 探究问题 例 （ 原
5、创） 如图， 二次函数 的图象与 轴交于两点， 其中点 坐标（ ， ） ， 点 （ ， ） 、 （ ， ） 在抛物线上， 为抛物线的顶点 例 题图 （ ） 求抛物线的解析式； （ ） 求 的面积； （ ） 在抛物线上是否存在点 ， 使 的面积等于 的面积？若存在， 求出所有符合 条件的点 的坐标； 若不存在， 请 说理由 （ ） 【 思路分析】 由 、 、 三 点在抛物线上， 根据待定系数法即可求出抛物线的解 析式 例 题解图 解： （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 三点在抛物线 上， ， 解方程组， 得 ， 故抛物线的解析式为 （ ） 【 思路分析】 过点 作 轴交 于点 ， 则
6、的面积 的面积 的面 积 解： 如解图， 过点 作 轴交 于点 ， 则 的面积 的面积 的面积 （ ） （ ）（ ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， 由 、 两点的坐标易求得直线 的解析式为： ， 当 时， ， 则 （ ， ） ， 则 ， 则 （ ） 【 思路分析】 先由 的面积等于 的面积， 求出 边上的高即点 的纵坐标的绝对值， 再将点 的纵坐标代入抛物线的解析式， 得到一元二 次方程， 如果方程有实数根， 则在抛物线上存在点 ， 否则不存在 解： 在抛物线上存在点 ， 使 的面积等于 第 题解图 若以 为菱形对角线， 如解图 此时 ， 菱形边长 ， ， 点 为 中点， （ ， ） 点
7、 与点 横坐标相差 个单位， （ ， ） ； （ 分）? 若以 为菱形对角线， 如解图 此时 ， 菱形边长 在 中， ， 解得 ， ， （ ） （ ， ） 综上所述， 存在满足条件的点 ， 点 坐标为： （ ， ） 、 （ ， ） 或（ ， ） （ 分）? 类型四 图形面积最值的存在、 探究问题 针对演练 （ ） 【 思路分析】 求得直线 与坐标轴的两交点坐标， 然后 根据 即可求得点 的坐标， 然后利用待定系数法求得经过 、 、 三点的抛物线的解析式即可 解： 令 ， 得 ， 故点 的坐标为（ ， ） ； 令 ， 得 ， 故点 的坐标为（ ， ） ； 是等腰直角三角形 ， 点 的坐标为（ ，
8、 ） ， 设过 、 、 三点的抛物线的解析式 ， 则 ， 解得 ， 此抛物线的解析式为： （ ） 【 思路分析】 首先利用待定系数法求得直线 的解析式， 然后 根据 得到两直线的 值相等， 根据直线 经过点 求得 直线 的解析式， 然后求得直线 和抛物线的交点坐标即可 解： 设直线 的解析式为 ， 将 （ ， ） ， （ ， ） 代入其中， 得 ， 解得 ， 直线 的解析式为： ， 直线 ， 设直线 的解析式为 ， 经过点 （ ， ） ， （ ） ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 令 ， 解得 或 ， 将 代入 ， 点 的坐标为（ ， ） ； （ ） 【 思路分析】 本问关键是求出 的面积表达式 这个表达式 是一个关于 点横坐标的二次函数， 利用二次函数求极值的方法可 以确定 点的坐标 第 题解图 解： 存在 如解图所示， 设 （ ， ） 是第一象限的抛物线 上一点， 过点 作 轴于点 ， 则 ， ，
