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1、（ ） 【 思路分析】 利用最小值模型， 先确定点 的 位置， 易得点 是直线 与 的交点， 把 代 入直线 的解析式即可求解 例 题解图 解： 如解图， 点 关于直线 的对称点是点 （ ， ） ， 连接 交直线 于点 ， 则此时 周长 最小 设 的解析式为： ， 将点 （ ， ） ， （ ， ） 代入其中， 得： ， 解得 ， ， 的解析式为 ， 当 时， ， 点 为（ ， ） （ ） 【 思路分析】 、 、 、 四个点中， 只有 、 是确定的， 所以要分两种情况来讨论： 为平行四 边形的对角线； 为平行四边形的边 例 题解图 解： 以 、 、 、 为顶点的四 边形能成为平行四边形， 满足要
2、求 的点 的坐标为 （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 【 解法提示】 当 为对角线 时， 可知点 在第二象限， 点 在 轴负半轴上， 由平行四边形的中心对称性可 知， 若过点 作 轴于点 时， 则 ， 点 的横坐标为 ， 代入 抛物线的解析式可求得（ ， ） ； 当 为边时， 由抛物线的形状特点可知点 、 都在 轴下方， 当点 在第三象限时， 由 ， 可知点 横坐标为 ， 可把 代入解析式求得（ ， ） ， 当点 在第四象限时， 同理可得， 点 横坐标为 ， 可把 代入解析式求得（ ， ） 则以 、 、 、 为顶点的四边形能成为平行四边 形 满足要求的点 有 个， 其坐标分别是： （
3、 ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 【 方法指导】 平行四边形的存在、 探究问题， 解题 方法步骤如下： （ ） 若为存在问题， 则先假设存在， 再进行下一 步； 若为探究问题， 则直接进行下一步； （ ） 设出点坐标， 求边长 直接或间接设出所求点 的坐标 若所求的点在抛物线上时， 该点的坐标可以 设为（ ， ） ； 若所求的点在对称轴上时， 该 点的坐标可以设为（ ， ） ， 若所求的点在已知直线 上时， 该点的坐标可以设为（ ， ） ， 并用 所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（ 常利用 相似三角形性质或勾股定理求解） ； （ ） 建立关系式， 并计算 若四边形的四个顶点位 置
4、已经确定， 则直接利用四边形边的性质进行计算； 若四边形的四个顶点位置不确定， 需分情况讨论： 以已知边为平行四边形的某条边， 画出所有的符合条 件的图形后， 利用平行四边形对边相等进行计算； 以已知边为平行四边形的对角线， 画出所有的符合条 件的图形后， 利用平行四边形对角线互相平分的性质 进行计算 针对演练 （ 济宁 分） 如图， 抛物线 与 轴交于 （ ， ） 、 （ ， ） 两点， 过点 作直线 轴， 交直线 于点 ； （ ） 求该抛物线的解析式； （ ） 求点 关于直线 的对称点 的坐标， 判 定点 是否在抛物线上， 并说明理由； （ ） 点 是抛物线上一动点， 过点 作 轴的平行
5、线， 交线段 于点 ， 是否存在这样的点 ， 使四 边形 是平行四边形？若存在， 求出点 的 坐标； 若不存在， 请说明理由 第 题图 （ 本溪 分） 如图， 直线 与 轴、 轴 分别交于 、 两点， 抛物线 经过 、 两点， 与 轴的另一个交点为 ， 连接 （ ） 求抛物线的解析式及点 的坐标； （ ） 点 在抛物线上， 连接 ， 当 时， 求点 的坐标； （ ） 点 从点 出发， 沿线段 由 向 运动， 同时点 从点 出发， 沿线段 由 向 运动， 、 的运动速度都是每秒 个单位长度， 当 点 到达 点时， 、 同时停止运动， 试问在坐标平面 内是否存在点 ， 使 、 运动过程中的某一时刻
6、， 以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在， 直 接写出点 的坐标； 若不存在， 说明理由 第 题图 类型四 图形面积最值的存在、 探究问题 例 （ 来宾） 已知抛物线 的 图象与 轴交于点 （ ， ） 和点 ， 与 轴交于点 （ ， ） 例 题图 （ ） 求抛物线的解析式； （ ） 在抛物线的对称轴上找 一点 ， 使得点 到点 、 的距 离之和最小， 并求出点 的坐标； （ ） 在第一象限的抛物线上， 是否存在一点 ， 使得 的 面积最大？若存在， 求出点 的坐标； 若不存在， 请说 明理由 二次函数压轴题 三角形面积问题 （ ） 【 思路分析】 由于函数表 达式只有两个未知数， 将已
7、知两点 的坐标代入便可求待定系数， 从而 得到解析式 解： 因为点 （ ， ） 、 （ ， ） 在抛物线上， 代入 ， 得 ， 解得 所以， 所求抛物线的解析式为： （ ） 【 思路分析】 求线段的距离之和最短要用轴 对称图形的知识来解决 例 题解图 解： 由（ ） 知 （ ） ， 所以抛物线的对称轴为 解法一： 由抛物线性质知， 点 、 关于对称轴对称， 如解图 连接 ， 由轴对称性质知， 与 对称轴的交点即为所求的点 直线 的解析式为 设点 （ ， ） ， 所以 所以， 所求点 的坐标为（ ， ） 解法二： 点 关于对称轴的对称点为 （ ， ） 如解图连接 ， 由轴对称性质知， 与对称 轴
8、的交点即为所求的点 直线 的解析式为 设点 （ ， ） ， 所以 所以， 所求点 的坐标为（ ， ） （ ） 【 思路分析】 假设存在点 （ ， ） ， 使 面积最大， 连接 ， 则 解： 解法一： 假设存在点 （ ， ） 使得 的面 积最大 例 题解图 如解图， 连接 ， 则 （ ） （ ） （ ） （ ） 当 时， 点 （ ， ） 在第一象限， 此时 的面积最大 所以， 所求点 的坐标为（ ， ） 解法二： 假设存在点 （ ， ） 使得 的面积 （ ） 【 思路分析】 已知两点坐标， 将已知的两个点的坐标代入抛物线 的解析式， 用待定系数法即可求出解析式 解： 由题意， 得 ， 解得 ，（
9、 分）? 抛物线的解析式为 （ 分）? （ ） 【 思路分析】 先求出抛物线的对称轴， 得到 点坐标， 进而得到 ， 再根据平行四边形的性质， 得 ， 从而得到 点的横坐 标， 代入抛物线的解析式， 即可求出 点的纵坐标 第 题解图 解： 如解图， 由 得对 称轴为 ， ， （ 分）? 四边形 是平行四边形， ， 点 的横坐标为 ，（ 分）? 当 时， 由 得 ， 点坐标为（ ， ） （ 分）? （ ） 【 思路分析】 设 点坐标为（ ， ） ， 由两点距离公式求出 、 、 ， 再分三种情况讨论： 以 为直角顶点； 以 为直角顶 点； 以 为直角顶点 解： 设点 的坐标为（ ， ） ， 则可得 ， （ ） ， （ ） （ ） ， （ 分）? 如解图， 以 为直角顶点， 则有 ， 即 ， 解得 ； （ 分）? 如解图， 以 为直角顶点， 则有 ， 即 ， 解得 ； （ 分）? 如解图， ， 以 为直角顶点， 则有 ， 即 ， 解得 槡 （ 分）?
