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1、二重积分的计算 习题课,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1. 关于坐标系的选择,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,一、主要内容,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2. 关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简,3. 关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为圆形、扇形、圆环形,看图定限 穿越法定限 和不等式定限,先选序，后定限,直角坐标系,.先 y 后 x ，,过任一x a , b ,作平行于 y 轴的直线,穿过D
2、的内部,从D的下边界曲线,穿入,内层积分的下限,从上边界曲线,穿出,内层积分的上限,.先 x 后 y,过任一 y c , d 作平行于 x 轴的直线,定限,左边界,内层积分的下限,右边界,内层积分的上限,则将D分成若干个简单区域,再按上述方法确定每一部分的上下限,分片计算，结果相加,极坐标系,积分次序一般是,过极点O作任一极角为,的射线,从D的边界曲线,穿入,从,穿出.,.如D须分片,内下限,内上限,具体可分为三种情况,极点在D的边界上,是边界在极点处的切线的极角,绝大多数情况下为0,极点在D的内部,化累次积分后,外限是常数,内限是外层积分变量的函数或常数,极坐标系下勿忘 r,极点在D的外部,
3、4. 关于对称性,利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用,对,若D关于 x 轴对称,若D关于 y 轴对称,若D关于原点对称,奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.,对于变量x,y来说，可以简述为 “你对称，我奇偶”,、简单地说就是：,二、例题分析,例. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,解,原式,例 计算,解,D,Y型,I =,若先 y 后 x
4、 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。,解,例 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不出，无法计算， 须改变积分次序。,先 x 后 y 有,奇函数,例. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例 计算,解,积分区域由不等式给出,在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆,但它们围不成区域,都有意义,必须限制,因此D只能在x=0 ， x=2 之间,确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单,显然,r 呢
5、？,极点在D的边界上，所以,那就错了,不能以为极点O在区域的边界上,就误以为对 r 积分的下限为0,定 r 的积分限，应先固定,以原点为起点作射线,这射线和两个半圆相交,积分限如何确定,尽管极点在D的边界上,但极角为,的射线并不是从极点穿入,而不是,域D的极坐标表示为,例. 关于分块函数在D上的积分.,其中D：0 x 1, 0 y 1,解：积分区域如图,记 f (x, y) = | y x |,且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方.,故，原式 =,注：分块函数的积分要分块(区域)来积.,另外，带绝对值的函数是分块函数。,解,例 计算,三、对称性的应用例举,例. (1),解,D 区域关于 x 轴对称，且,而,而,因此，,解：能否用对称性？,（4） 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,(5) 计算,解,解,D关于 x , y 轴及原点对称,故,故,（6） 计算,习题解析,5.交换积分次序:,习题解答,
