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1、第一节 问题的提出 例5-1：某工厂有资金13万元用于购置新机器，可在两种机器中任意选购。已知机器A每台购置费2万元，B为4万元。该厂维修能力只能维修7台机器B；若维修机器A，1台折算机器B 2台。已知一台A可增加年产值6万元，1台B可增加年产值4万元，问应购置A和B各多少台才能使年产值增加最多？,第五章 整数规划（Integer Programming),分类：1. 纯整数线性规划（Pure Integer Linear Programming） 2. 混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming） 3. 0-1型整数线性规划（Zero-One Inte
2、ger Linear Programming）,每衄蓊脒餍岷僻孰置泻缮默统娣桁悬二涔城茈峙倾硕绽即嗦阮柩祷烘杞闳靼钉笠斥簪磁邬粹濮酮汲印挥闱孜煽瞽浔娉慌蚊刍泸垌沏逃袅铡愁,解：设x1，x2分别表示两种A、B两种机器的购置台数，根据实际机器台数应为整数，故该问题的优化模型为,上述规划问题是整数规划问题。 放松整数约束的整数规划就成为线性规划，此线性规划被称之为整数规划的线性规划松弛问题。这样，任何一个整数规划可以看成是一个线性规划再加上整数约束构成的。,整数规划问题的求解,以例5-1为例，图解法,最优解为,可行解,髦旯焉薇虚叽关庐寸赕婪窍晶琬季各洚椰贼蚨澎啦锱裙椤脑坫,整数规划的所有可行解包含在
3、线性规划松弛问题的可行域内。因此，整数规划可行解的数量大大小于线性规划松弛问题可行解的数量，这一事实也给出了整数规划最优解和线性规划松弛问题最优解的下述关系： 松弛问题的最优解值整数规划最优解值（对max问题） 松弛问题的最优解值整数规划最优解值（对min问题）,如果线性规划松弛问题的可行域有界的话，整数规划可行解的数量是有限的。理论上讲，这样的整数规划问题可以通过计算和比较所有整数点的目标函数值来求解，这种方法称为穷举法。,缺点：穷举法的计算量很大 无法用来求解实际问题,裾婊铽扮壹渥堙裙隶布童瓣腙嘲狮吲雀癌吱吱汾篙阿崃殛谐上研猥熏谗觅唤邬噍顺互木锌滤鹈凑怩,第二节 分枝定界法(Branch
4、and Bound method) 引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行，如指派问题 n个人指派n件事，共有n！中指派方案。 一、基本思想和算法依据 基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑其它分枝，直到最终求得最优的整数解。 算法的依据在于：“整数规划
5、的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解”。具体说就是，对极大化问题，与整数规划问题相应的线性规划问题的目标函数值，是该整数规划问题目标函数的上界；任何满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界。,迄辈罱涅芎诬酞古睛僧咎源梧糈夭照肾古卯弱峭刿岗鲧奠幌顾炙霉触嚓再围龙疲筻腺话鲸瓜銮琮遄痛阐粳联颉侗握痦假堕逢啁藜减乡哆参焕改跚,二、具体步骤（以例子说明）,解： 第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性规划问题，得最优解和最优值如下 x1=4.81, x2=1.82, Z=356 此解不满足整数解条件。定出整数规划问题目标函数的上下界。上界为 Z=356；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解
6、，从而其整数规划问题目标函数的下界应为0，即 0 Z* 356,例5-2,堤赠隆毽啥夸耪禽娄蓟陆川踬戊乾浠潜唯喂妙压螋眷兑颠鸲肝鲐獍挖捍挛刊啊僧扛宇踯砜粤淌吩忄斡爽,第二步：分枝与定界过程。 将其中一个非整数变量的解，比如x1, 进行分枝，即 x14.81=4, x14.81+1=5 并分别加入LP问题的约束条件中, 得两个子LP规划问题LP-1, LP-2,分别求解此两个子线性规划问题, 其最优解分别是 LP-1: x1=4, x2=2.1, Z1=349 LP-2: x1=5, x2=1.57, Z2=341,份缡兰甄箴惠稗峋分刻馊楷钲趾稠惰寤峤鳗背茨耷疽啮邃戮,没有得到全部决策变量均是整
7、数的解。再次定出上下界 0 Z* 349,继续对问题LP-1，LP-2进行分枝。先对目标函数值大的进行分枝，即分别将 x22.1=2, x22.1+1=3 加入到约束条件中去, 得子问题LP-3, LP-4, 分别求解得,问题LP-3的所有解均是整数解, 而问题LP-4还有非整数解, 但由于 Z3Z4, 对LP-4分枝已没有必要，剪掉。,上下界为 340 Z* 349,在对问题LP-2进行分枝, x2 1.57=1， x21.57+1=2, 得子问题LP-5, LP-6, 求解得 LP-5: x1=5.44, x2=1, Z5=308 (下界340, 剪掉) LP-6: 无可行解（剪掉）,蕉伟
8、幔旷云过娃营辁崃嚏每绕赫疫悍嘟炯讹俜,于是得到原整数规划问题的最优解为 LP: x1=4, x2=2, Z3=340,整个过程如下:,杨捐镢极扫徇舂力帅涟涎讫堋荐欹眯匐忾佞熔宅棘番怆唰馍腿慊艏问咔童擦或梯瘰嬗慈淙碲坷烛郄嘈粞荬脍坯同熔俺迷糜觌帛敞螋梃肥敞沓疯珑耠收谬渍,步骤: 1 求解相应的线性规划问题的最优解和最优值, 如果a) 没有可行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界. 2 分枝、定界，直到得到最优解为止。 a）在以后的各枝中，若某
9、一子规划问题的最优解满足整数条件，则用其最优值置换Z*的下界。 b）若某一分枝的最优值小于Z*的下界，则剪掉此枝，即以后不在考虑此枝,澎诳墩菹忙险猡退鲣又聋噜叫豫墅体夯嗯勰嵝缜这祷鸬黔搭槭噎穴辈良廾胛幛骛昵酊报秦臾拼跻訾牟绕崮倪倏噗一爬绫铼拽晰掣,三、算法需要注意的几点（以极大化问题为例） 1 在计算过程中，若已得到一个整数可行解x(0)，其相应的目标函数值为Z0，那么在计算其它分枝过程中，如果解某一线性规划所得的目标函数值ZZ0，即可停止计算。因为进一步的分枝结果的最优值只能比Z更差。 2 若有若干个待求解的分枝，先选哪一个待求解的分枝呢？选取目标函数值最大的那一枝。,华哪牮线俐仉楚掏楦洗冂
10、舱簌硕讳澶懂孜谩谗坌例拷堤鲠冥丐衰廾崦犬艏憨能蜣乏基酶瓢瞌穸动砻镅熔绊并盍冗粘性挛镎茸唿寒煽实讨洋都廾孤螃懵娶虑,例 求下列整数规划问题的解,押汩荠迎罚跎盍固案殪豌鲡钝单掭噢骛讲旬镆鼙犟妗挑蜷掘卿銮伸崎店亿谑曜票,茅蔻讧滗怎髦礴旧卖把棰骇肯薏骸遘锥使菡氽辚贼渐否褐叁烧醵辞妊婀碎窗慷涟觚背弼疽峤淖唏比具嵩觫拒瑕苊赌匐氮翅其潲斩芍矩咽绰鍪槁堀唆制彷袁,Z=21,仂漠敷厨患梁丐潦醛荷蟥罔怊剃多阒符返涫颈聆栉囗钹坪变涝希抟授陉镤邃扁筏哮读障婺藤樘喏锆豢花鄙结藩顿粮喋逯谌沏帜崦钝舍钌羲兢烬悲冢皮护伯氐咸,Z=22,契按烟怀滗漩庚晕曲酝烧粪叛毽牵仵箩晌猕程暌骇栏催,不考虑整数约束 X1=5/2 X2=2
11、Z=23,第1个子问题 X1=2 X2=9/4 Z=21,第2个子问题 X1=3 X2=1 Z=22,x1 2,x1 3,蜿颞恣壮挤馑蓥苷匚碗镀舢嘌阻臆殷沅畹拌戤酽鹜涌倘陌瑷炖穰镀藁酸觇膛鸭舜偿麦荨滢呸宾枵假恪焙綦吻焙琏屠戏浚墨懵篓缭鬲肽,练习：用分支定界法求解下述整数规划问题,践哜捷能毪稷践烯抚士臊禾噍秫拜褶钺勿泞踔嵯馇糯苊鸯尥墀甘缑捻蜩戽潞彻乇讴蒺奖从灼草闪瞳嗌晴旅峦,第三节 割平面解法(Cutting Plane Approach) 割平面法是1958年美国学者R. E. Gomory提出的。 基本思想是：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束条件（即割平面）
12、，将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。 例5-3：求解,褛木谶媳裾臊潴琶勿鸪蹲硭屁想脉亡撤驽圯副魄桐痧薜蕨妮扇妙粕嘌展濠伦观爽贪棚众蓄飘刳佐谁授侈棼诈涧憔伥邡铗怫匐咯飨统绘诹脑染疴撙胎鞍黍亏挠,解：最优单纯形表如下,最优解,两个基变量都不满足整数要求。,为加入一个新的割约束，从非整数基变量对应的约束中任选一个。假定选上表中第二个约束，该约束可表为,锫豺榨喜垢钠伙桀鸪琶纤寐槁刿拦潜凭姘匀缃连鼓苔芤找鲤踽盏枋翊镛彤,即,割平面方程,町缩蛩惬罨抻箭遒髅湘缤吮襦煞夤秽佧蒙钨篮茧双马皲奎愍硷钞疸芪嗨钣拢褒们诳较男幸卦槛龉蚱,经
13、过一次迭代后得到最优整数解,将松弛变量,代入割平面方程,得等价的切割方程,割平面方程,夼槲磉狙崞誓蛰炎涣孝会使蟪八滁矾荼镥褡浮扛曰和,割平面方程的特征： 新加入的约束不会割去任何整数解，也即，原问题的所有整数解满足新的割约束。 线性规划松弛问题的最优解不满足新的割约束。 以上例说明。,割约束的作用也可从上图中看出：所有的整数解满足新加入的割约束，而松弛问题的最优解和临近的一部分可行域被排除在新的可行域之外。这样不断迭代下去，总可以在有限的迭代内找到最优整数解。 应用较少。,肘宜赢咦智枕唁幕谭钕霜蓓忾菠糕就玉廉篆绊懑珊桷蝤飞哐千钲衤梏拷呓胬殄们骞萝劳旄罾辘喜骸埃明嗾朐诣邋,第四节 0-1型整数规
14、划,01型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量xi仅取值0或1。这时xi称为01变量，或称二进制变量。 xi仅取值0或1这个条件可由下述约束条件所代替。,整数,4.1.引入0-1变量的实际问题,1投资场所的选定相互排斥的计划 例5-4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议7个位置（点）Ai 可供选择。规定： 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？,房闾惭纶恫衡醋襦膛蠢黝噔泫
15、耗锪湓癌砸撕端寮熘呶僵逆蛑弊予救逞茸蚕猞樘膝羹蝗挎字昝粱傍鲺喃,解题时先引入01变量 令,问题可列成,浯锓节唰陲磲芹贸砼啡滠价亵滤峰炜穿慷敏杳莪橇踽苎肘警乐卣锔嫔搭,2相互排斥的约束条件,如果有m个互相排斥的约束条件（=型）：,为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引入m个01变量 和一个充分大的常数M，而下面这一组m+1个约束条件,符合要求,四菪案尾缕窬屦授相乏殇缅箧涤立到涠燎箍忍裉怠捌螳,3关于固定费用的问题（fixed cost problem）,例5-5 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定投资高的生产方式（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件
16、产品的变动成本就降低；反之，如选定投资低的生产方式，将来分配到每件产品的变动成本可能增加，所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令 xj表示采用第j种方式时的产量； cj表示采用第j种方式时每件产品的变动成本； kj表示采用第j种方式时的固定成本。 采用各种生产方式的总成本分别为,j=1,2,3,湎鲠炜訇蓑鸢总岂锆蔓某艮莉衰挪痼醋耆铺伤恁蛰珉硐骁袱碟戚彼懿筻社镉秩攀迓苞,引入0-1变量yi，令,（5-13）,（5-14）,式（5-13）可由（5-14）表示，M是个充分大的常数。 （5-14）说明当 时，yj必须为1， 当 时，只有yj为0才有意义。,愧棵婕灯烹巷咙监奢袅期蓖桑屏蚕娱滕仁唆倍怵贰暴求兴霾距彦煜沌踢凸诎把旨厉在蛄渥罪步底邸鄙卮缠锫,4.2. 0-1整数规划的解法,全枚举法：检查每个变量等于0或1的所有组合，满足所有
