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1、4.6 马尔可夫预测,2,1、Markov过程 状态与状态转换 若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集 E=E1,E2,En 中，且仅出现其中一个，则称事件EiE为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状态Ei。 状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。,一、Markov预测原理,3,一、Markov预测原理,Markov过程 现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。 时间和状态都离散的
2、一系列马尔可夫过程的整体又称为马尔可夫链。,4,2、状态转移概率矩阵 设系统共有N个状态，记作S1，S2，SN，则用状态向量S1，S2，,SNT表示。设在tn-1时刻系统处在Si状态之下，tn时刻系统状态变为Sj，则称在第n次状态转移中，系统由状态Si转移到Sj，且这种状态转移的概率记为 pxn=Sj|xn-1=Si pij (i,j=1,N；n=1,2,) 这里pij与n无关，只与i,j有关，即只与转移前后的状态有关，称为马尔可夫链的一步转移概率。,一、Markov预测原理,5,例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。,一、Markov预测原理,6,一步转移概率矩阵 如果系统有N个状态，则一
3、步转移概率矩阵如下：,一、Markov预测原理,7,概率矩阵的特点 正规概率矩阵 若概率矩阵P的m次幂Pm的所有元素皆为正，则该概率矩阵P称为正规概率矩阵。 固定向量 当任一非零向量u=(u1 u2 un) 乘以某nn方阵A，其结果仍为u，即uA=u时，u为A的固定向量。,一、Markov预测原理,8,正规概率矩阵的性质 正规概率矩阵P有一个固定概率向量u，且u的元素皆为正，此向量叫做特征向量。 正规概率矩阵P的各次幂序列P，P2，P3，将趋向于方阵U，且U的每一行均为其固定概率向量u。 若F为任一概率向量，则向量序列FP，FP2，FP3，将趋近于P的固定概率向量u。,一、Markov预测原理
4、,9,正规马尔可夫链及其稳定状态 若某事物状态转移概率可以表达为正规概率矩阵，则该马尔可夫链就是正规的，通过若干步转移，最终会达到某种稳定状态，即其后再转移一次、二次、，结果不再变化，这时稳定状态可用行向量X表示，,可见该行向量X就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。,一、Markov预测原理,10,固定概率向量的求解示例 例2：设某事物从状态S1、S2、S3转移到状态S1、S2、S3的转移概率矩阵为正规概率矩阵P，,一、Markov预测原理,11,稳态时的特征向量 可求解如下：,解此联立方程式得 X = (0.4,0.2,0.4),一、Markov预测原理,12,例3：已知一步转移概率矩阵如
5、下，判断马尔可夫链是否正规，若正规求出其稳定状态。,一、Markov预测原理,13,k步转移概率矩阵 事物经过k步转移的转移概率记为 p(Sn+k=j/Sn=i) = pij(k)， i,j=1,2,N, 则如下矩阵即为k步转移概率矩阵,一、Markov预测原理,14,可以证明：,即k步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵的k次幂。,一、Markov预测原理,15,由定义可知：,P（K）=P（K-1）P =P（K-2）P2 =P（K-3）P3 =P（K-K+1）PK-1 =PPK-1 =PK 即，K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的K次方。,16,应用条件,应用马尔柯夫预测法进行预测时，首先必须将
6、研究的问题归纳成独立的状态； 其次是要确定经过一个时期后，时间由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件： 1.只与目前状态有关； 2.与具体的时间周期无关； 3.预测期间，状态的个数必须保持不变。,17,步骤,如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下： 第一步，确定系统的状态； 第二步，确定转移概率矩阵； 第三步，进行预测。,18,例4,某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。,二、商品销售额预测,19,表1 各月商品销售额 单位：万元,月 数 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额
7、40 45 80 120 110 38 40 50 月 数 9 10 11 12 13 14 15 16 销售额 62 90 110 130 140 120 55 70 月 数 17 18 19 20 销售额 45 80 110 120,20,解：,划分状态。 按销售额多少作为划分状态的标准。 状态1滞销：销售额60万元； 状态2平销：60万元销售额100万元； 状态3畅销：销售额100万元。,21,则各状态出现的次数Mi为：,M1=7； M2=5； M3=8。 根据统计数据计算比例数，建立状态 转移概率矩阵。,22,由状态i转移为状态j的次数记为Mij，,则有： M11=3；M12=4；M1
8、3=0； M21=1；M22=1；M23=3； M31=2；M32=0；M33=5。 在计算时，最后一个数据转移到哪个状态时未知的，所以不参加计算。,23,转移概率,以转移次数Mij与状态次数Mi之比作为转移概率，则转移概率Pij= Mij / Mi。 各转移概率为： P11=3/7；P12=4/7；P13=0； P21=1/5；P22=1/5；P23=3/5； P31=2/7； P32=0； P33=5/7。,24,预测第21月的销售额,因为第20月的销售属状态3，而状态3经过一步转移达到状态1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33P31P32，所以第21月仍处于状态3的概率最大，即
9、销售额超过100万元的可能性最大。,25,三、 市场占有率预测,在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业经营管理中的一项重要工作。下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场占有率的预测的分析。,26,条件,设市场中提供某种商品的厂商共有n家。当前的市场占有率,即本期市场占有率为： 用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时，Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。,27,转移概率矩阵,对于整个市场中各厂商的顾客的转移概率，可用转移
10、概率矩阵表示：,28,市场占有率,对于未来一个时期的市场占有率， 有：,29,上式表明，,对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。 将上式写成矩阵形式，有：,30,结论,即：S（t+1）=S（t）P 下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。,31,同理，,若S（t-1）表示上期市场占有率， S（t）表示本期市场占有率， 则S（t）=S（t-1）P。 本期市场占有率取决于上期市场占有率和转移概率，而与上期以前时期的市场占有率无关。 对市场占有率的预测是符合马尔柯夫原理的，因此可以利用马尔柯夫的理论和方法进行市场占有率的预测。,32,K期市场
11、占有率的预测,设当前状态为初始状态，那么对于下一期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过一步转移所达到的状态。即：S（1）=S（0）P。 若假定各期的转移概率不变，则那么对于下K期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过K步转移所达到的状态。即：S（K）=S（0）PK。,33,例5,已知市场上有A、B、C三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为： 试求本月和下月的市场占有率。,34,解：,依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即S（0）=(0.3 0.4 0.3），则本月市场占有率为S（1），下月市场占有率为S（2），,35,由马尔柯夫
12、预测法有：,本月市场占有率S（1）=S（0）P =（0.25 0.37 0.38） 下月市场占有率S（2）=S（1）P =（0.225 0.347 0.428） 计算结果表明A、B、C三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为：25%，37%和38%；下月的市场占有率分别为：22.5%，34.7%和42.8%。,36,S（2）的计算亦可采用下式,S（2）=S（1）P=S（0）P2 即可认为是在初始状态经过二步转移后所达到的状态。 那么对于K个时期后的市场占有率的预测，则可由初始状态S（0）与市场的转移概率矩阵P的K次方的乘积求得。即： S（K）=S（0）PK。,37,例6,有A、B、C三家企业的
13、同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：052、030、018。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表7-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。,38,表3 企业占有顾客变化情况 单位：人,企业 上月占有顾客数 本月流动情况 A B C A 520 312 156 52 B 300 105 105 90 C 180 18 36 126 本月占有顾客数 435 297 268,39,解： 1确定初始状态。,以上月各企业的市场占有率为初始状态，S（0）=(0.52 0.30 0.18）。,40,2确定转移概率矩阵。
14、,转移概率矩阵可以反映企业现有顾客在下一周期仍购买该企业产品的顾客人数的百分比，即保有率；和在下一周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，即转出率。根据顾客人数转移的数据，计算出保有率和转出率，作为转移概率，组成转移概率矩阵。,41,表4 企业转移概率计算表,出 入 A B C A 312520=0.60 156520=0.30 52520=0.10 B 105300=0.35 105300=0.35 90300=0.30 C 18180=0.10 36180=0.20 126180=0.70,42,上表结果用矩阵形式表示为：,43,3.计算本期市场占有率。,假设分析期内转移概率不变（即顾客
15、的偏好不变），根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率S（1）=S（0）P。 即： S（1）=（0.435 0.297 0.268）,44,4.后续周期趋势预测,若以本月为第一个月,则第K个月的市场占有率为S（K）=S（0）PK。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。 根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表7-4：,45,表4 逐期市场占有率计算表,预测期 市场占有率 K SA（K） SB（K） SC（K） 1 0.4350 0.2970 0.2680 2 0.3918 0.2881 0.3202 3 0.3679 0.2824 0.3497 4 0.3555 0.2791 0.3663 5 0.3471 0.2773 0.3766 6 0.3429 0.2763 0.3808 7 0.3405
