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1、2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究、操作性问题【知识纵横】 探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。b5E2RGbCAP【典型例题】【例1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？p1EanqFDPw数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为探索研究:我们可以借鉴以
2、前研究函数的经验，先探索函数的图象性质1xyO134522354111、 填写下表，画出函数的图象：x1234y观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数(x0)的最小值DXDiTa9E3d解决问题:用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案【思路点拨】将值代入函类数关系式求出值, 描点作图即可， 然后分析函数图像。仿对进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。RTCrpUDGiT【例2】（湖南岳阳）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程：5PCzVD7HxA（1）
3、实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式jLBHrnAILg（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？xHAQX74J0X（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：LDAYtRyKfEI如图，在抛物线内作矩形A
4、BCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在轴 上设矩形ABCD的周长为，求的最大值Zzz6ZB2LtkII如图，过原点作一条=的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由dvzfvkwMI1【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当=2时，正好是两辆汽车的宽度。（3）I首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II利用等腰直角三角形的性质，以及P在=的图象上，即可得出P点的坐标。rqyn14ZNXI【
5、例3】（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；EmxvxOtOco（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 【思路点拨】（2）过点A作AE轴于点E，证AEOOFB，得出AE=2OE，可得方程点A的
6、横坐标。（3）设A（，）（），B（，）（），可证AEOOFB，再根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，2）。SixE2yXPq5【学力训练】1、（福建漳州）如图1，抛物线ymx211mx24m (m0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC906ewMyirQFL（1）填空：OB_ ，OC_ ；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：xn与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物
7、线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值2、（江苏扬州）在ABC中，BAC900，ABAC，M是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP，设运动时间为秒（）kavU42VRUs（1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；（2）若ABC600，AB4厘米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；（3）探求三者之间的数量关系，以图为例说明理由ABPNQCMABCNM图1图2（备用图）3、（湖南永州）探究问题：方法感悟：如
8、图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EFy6v3ALoS89感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=9090=180，M2ub6vSTnP因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 23=BADEAF=9045=451=2， 13=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DEBF=EF 方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=
9、DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想0YujCfmUCw问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足EAF=DAB,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）eUts8ZQVRd探究操作性问题【典型例题】 【例1】（江苏南京） 解：x1234y2 函数的图象如图： 本题答案不唯一，下列解法供参考 当时，随增大而减小； 当时，随增大而增大； 当时，函数的最小值为2。 =当=0，即时，函数的最小值为2。 =， 当=0，即时，函数的最小值为。当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为。 可得P1R
10、1:P2R2Q2R2：Q1R11：2，且P1R1P2R2，Q2R2Q1R1。 P1R1AP2R2A，Q1R1AQ2R2A。P1R1Q1P2R2 Q2。 由结论（2），可知【例2】（湖南岳阳）解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25）， 设抛物线的解析式为。图象过（10，0）点，解得。抛物线的解析式为。（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，=2把=2代入解析式得：=0.25（25）2+6.25，=4。43.5=0.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。（3）I假设AO=，可得AB=102，AD=0.25（5）2+6.25。矩形ABCD的
11、周长为为：=2+2（102）=0.52+20=0.5（1）2+20.5。l的最大值为20.5。II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P在=的图象上，设P（，）。过P点作轴的垂线交抛物线于点QPOA=OPA=45，N点的坐标为（5，5）Q点的坐标为（，5）。把Q点的坐标代入，得，解得。使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（，）或（，）。【例3】（湖南株洲）解：（1）设线段AB与轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， OA=OB=，AOB=900，AC=OC=BC=2。B(2，2)。 将B(2，2)代入抛物线得，。（2）过点A作轴于点E，点B的横坐标为
12、，B (1，)。BF=。又AOB=900，易知AOE=OBF。又，AEO=OFB=900，AEOOFB，。 AE=2OE。设点A（，）（），则，。，即点A的横坐标为4。 （3）设A（，）（），B（，）（），设直线AB的解析式为：， 则 ，得，。又易知AEOOFB，。由此可知不论为何值，线段AB恒过点（，2）。【学力训练】1、（福建漳州）解：（1）OB3，OC8。 （2）连接AD，交OC于点E，四边形OACD是菱形，ADOC，OEEC 84。BE431。又BAC90，ACEBAE。AE2BECE144。sQsAEJkW5TAE2。点A的坐标为 (4，2) 。把点A的坐标 (4，2)代入抛物线ym
13、x211mx24m，得m。抛物线的解析式为yx2x12。 （3）直线xn与抛物线交于点M，点M的坐标为 (n，n2n12) 。GMsIasNXkA由（2）知，点D的坐标为（4，2），则由C、D两点的坐标求直线CD的解析式为yx4。点N的坐标为 (n，n4)。MN（n2n12）（n4）n25n8。TIrRGchYzgS四边形AMCNSAMNSCMNMNCE（n25n8）47EqZcWLZNX(n5)29 。 当n5时，S四边形AMCN9。2、（江苏扬州）解：（1）PBMQNM 。理由如下： 如图1，MQMP，MNBC ，。，。PBMQNM（2），cm。又MN垂直平分BC，cm。，4 cm。设Q点的运动速度为cm/s当时，如图，由（1）知PBMQNM，即。当时，如图2，同样可证PBMQNM ，得到。综上所述，Q点运动速度为1 cm/sAB4 cm，cm，由勾股定理可得
