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1、第二章 X射线衍射原理,第二章 X射线衍射原理,内容提要： 第一节 倒易点阵 第二节 X射线衍射方向 第三节 X射线衍射强度,第二章 X射线衍射原理,第一节 倒易点阵,衍射法是建立在一定晶体结构模型基础上的间接分析方法。 正点阵 晶体的空间点阵即为正点阵。 正点阵根据布拉菲法则可分为七大晶系、14种晶胞类型； 晶面和晶向的表征； 正点阵中基本参数为a、b、c、，基矢量为a、b、c，任一矢量R可表示为 其它知识：晶面间距的计算公式、晶带等,第二章 X射线衍射原理,倒易点阵是一个虚拟点阵，它是由晶体正点阵按一定规则变换而来的。 变换得到的点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为倒易点阵；
2、倒易点阵所在空间为倒空间。 倒易点阵理论是分析晶体衍射问题的有力工具！,第二章 X射线衍射原理,一、倒易点阵的构建,倒易点阵也是由许多点在三维空间中有规律地、周期地排列而成的。 与正点阵中相似的名词，如倒易点、倒易矢量(倒易点阵方向)、倒易面(倒易点阵面)、倒易点阵胞等。,第二章 X射线衍射原理,1、倒易点阵的定义,若以a、b、c表示晶体点阵的基矢，则与之对应的倒易点阵基矢a*、b*、c*可以用下列两种完全等效的方式来定义。 定义一： （即同名基矢点积为1，异名基矢点积为0） 按上述关系获得的由新基矢决定的新点阵称为正点阵的倒易点阵。,第二章 X射线衍射原理,定义二： 式中，V为正点阵的单位晶
3、胞体积， 倒易点阵尺寸量纲为长度的倒数。 上述两种定义是等效的！,第二章 X射线衍射原理,由定义中的矢量关系表明： 方向上，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面。 即：a*垂直于b、c所在面， b*垂直于c、a所在面， c*垂直于a、b所在面。 长度上，正点阵基本矢量与倒易点阵的基本矢量是倒易关系。 即： ，分别为a与a*，b与b*，c与c*之间的夹角。,第二章 X射线衍射原理,如果正点阵晶轴相互垂直，则倒易轴方向如何？,仅在正交晶系中，下列关系成立：,倒易轴相互垂直且平行于晶轴。,第二章 X射线衍射原理,另外，正倒空间的单胞体积互为倒数： V*V=1 倒易点阵的单位晶胞体积 正倒
4、空间中角度之间的关系：,*、*、*分别为b*和c*、 c*和a*、 a*和b*之间的夹角。,第二章 X射线衍射原理,2、倒易点阵的构建,构建与正点阵对应的倒易空间点阵的步骤： 第一步：从a、b、c唯一地求出a*、b*、c*； 第二步：根据a*、b*、c*作出倒易阵胞； 第三步：将倒易阵胞在空间平移。,第二章 X射线衍射原理,3、倒易矢量及其性质,倒易结点：倒易点阵中的阵点称为倒易结点。 倒易矢量：在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点的矢量称倒易矢量。用 表示。 式中(hkl)为正点阵中的晶面指数。 为与（hkl）晶面对应的倒易矢量。,第二章 X射线衍射原理,倒易矢量的性质： 矢量的方向与对应晶
5、面垂直； /N 矢量的长度等于对应晶面间距的倒数,第二章 X射线衍射原理,在立方晶系中，晶面法向和同指数的晶向重合(平行)。 故倒易矢量 与相应指数的晶向hkl 平行。,第二章 X射线衍射原理,4、倒易矢量（倒易点）的意义,正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就是一个倒易矢量，或者说倒易点阵中的倒易矢量就是正点阵中同指数的晶面； 也可以说，正点阵中的一个晶面对应倒易点阵中的一个结点，或者说倒易点阵中的一个结点对应正点阵中的同指数的晶面。,二维问题一维化处理！,第二章 X射线衍射原理,正点阵晶面与倒易矢量（倒易点）对应关系示例。,立方晶体001晶带与其对应的倒易平面,第二章 X射线衍射原理,5、倒易点
6、阵的主要应用：,直观地解释晶体中的各种衍射现象（如X射线衍射、电子衍射等）。 通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释为晶体相应晶面的衍射结果。 简化晶体学中一些重要参数的计算。 如晶带定律、晶面间距公式、晶面法线间的夹角及法线方向指数。 等。,第二章 X射线衍射原理,X射线衍射理论引言,X射线经晶体物质散射后，散射线会在空间呈有规律的方向性强弱分布，就是衍射效应。 X射线衍射理论能在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。,衍射波的上述两个基本特征，与晶体内原子分布规律（晶体结构）密切相关！,第二章 X射线衍射原理,第二节 X射线衍射方向,引 言 1、平行波的干涉 波的干涉的概念：
7、振动方向相同、波长相同的两列波的叠加，将造成某些固定区域的加强和减弱。 当一系列平行波叠加时，也可发生干涉。,第二章 X射线衍射原理,第二章 X射线衍射原理,结论： 两个波的波程不一样就会产生位相差；随着位相差变化，其合成振幅也变化。 当一系列平行波具有某种确定的相位关系时，有的光加强(相长干涉)，有的光对消(相消干涉)，就产生了衍射。,第二章 X射线衍射原理,2、晶体对X射线衍射的本质,一束X射线照射到晶体上，受原子核束缚较紧的电子向四周辐射与入射波同频率的电磁波。 同一原子内的电子散射波相干加强形成原子散射波。 晶体中的原子是有规则的周期排列，使得各原子散射波因固定相位关系产生干涉，在某些
8、固定方向得到增强或减弱甚至消失，产生衍射现象，形成衍射花样。 衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加(合成)的结果，即衍射光束是由相互加强的大量散射光线所组成的。,第二章 X射线衍射原理,3、衍射方向问题,衍射方向就是从几何学的角度讨论衍射线在空间的分布规律。 在描述X射线的衍射几何时，主要是解决两个问题： 产生衍射的条件，即满足布拉格方程； 衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍射角2 。,第二章 X射线衍射原理,衍射方向可分别用劳埃方程、布拉格方程、衍射矢量方程及厄瓦尔德图解来描述。 劳埃方程和布拉格方程是一致的!,第二章 X射线衍射原理,一、布拉格方程,1、布拉格方程的推导 思路：布拉格方程
9、是从晶体中的许多平行的原子面对X射线散射波的干涉出发，去求X射线照射晶体时衍射线束的方向。 假定:在参与散射的晶体中： 晶面完整、平直 入射线平行，且为单色X-ray（波长一定）,第二章 X射线衍射原理,推导过程：（分两步）,(1) 一层原子面上散射X-ray的干涉 如图，X-ray以角入射到原子面并以角散射时，相距为a的任意两原子E、A的散射X射线的波程差为： =EG-FA=a(cos-cos),当=n时，在方向干涉加强。 假定原子面上所有原子的散射线同位相，即=0，则a(cos-cos)=0，=,第二章 X射线衍射原理,表明：当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉加强。,与可见
10、光的反射定律类似，X-ray从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向：即一层原子面对X-ray的衍射在形式上可看成原子面对入射线的反射。,第二章 X射线衍射原理,(2) 相邻原子面的散射波的干涉 如图，晶面间距为d的相邻原子面反射X射线的波程差为 CB+BD2dsin 当波程差等于波长的整数倍（即n）时，相邻原子面散射波干涉加强。 从而干涉加强条件为： 式中,n为整数。,布拉格方程！,第二章 X射线衍射原理,凡是在满足2dsin=n式的反射方向上，所有晶面上的所有原子散射波的位相完全相同，振幅互相加强。 这样，在与入射线成2角的方向上就会出现衍射线。,为入射线(或反射线)与晶面的
11、夹角，称为掠射角（或布拉格角、衍射半角）。 入射线与衍射线之间的夹角2，称为衍射角。,第二章 X射线衍射原理,2、布拉格方程的讨论,（1） 选择反射 X-ray在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原子相干散射波之间互相干涉的结果。 一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，不受条件限制。 X-ray从原子面的反射是有选择地，其选择条件为布拉格方程。 所以，把X射线的镜面反射称为“选择反射”。,第二章 X射线衍射原理,（2） 反射级数和干涉面,布拉格方程 中，n称为反射级数。 将布拉格方程改写成： 如令 ，则布拉格方程变为： 一般地说，面间距为dhkl的(hkl)晶面的n级反射，可以看作是晶
12、面间距为 dhkl /n 的（nh nk nl)晶面的1级反射。,第二章 X射线衍射原理,假若波长为的X射线以角照射到晶体的(100)晶面，刚好发生二级反射，则布拉格方程为： 设想在每两个(100)晶面中间均插入一个晶面，此时面簇的指数为(200)。 此时，相邻晶面反射线的光程差？ 为一个波长，其相应布拉格方程为：,此种情况相当于(200)晶面发生了一级反射。,第二章 X射线衍射原理,晶面(hkl)的n级反射面（nh nk nl)，用符号(HKL)表示，称为反射(衍射)面或干涉面。反射面指数HKL称为干涉指数。 注： 干涉指数中有公约数，而晶面指数是互质的数； 干涉面(HKL)是为了简化布拉格
13、公式而引入的反射面，不一定是晶体中的原子面。,第二章 X射线衍射原理,（3） 衍射极限条件,由 ，可以说明两个问题： 晶体产生衍射的波长条件：2d 由于大部分金属的d为0.20.3nm，所以波长也是在同一数量级或更小。 晶体中产生的衍射线条有限：d/2 所以，采用短波长的X射线时，能参与反射的晶面将会增多。,第二章 X射线衍射原理,（4）衍射线方向与晶体结构的关系,由 ，波长选定之后，是d的函数。 各种晶系衍射角与晶面指数的对应关系： 立方系 正方系 斜方系,第二章 X射线衍射原理,上面的公式表明： 一定，不同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶体，其衍射线束的方向不同。 因此，衍射束的方向可以反
14、映出晶体结构中晶胞大小和形状的变化。 若晶胞由不同原子组成或原子排列方式不同，衍射方向却没有反映，即衍射线束的方向与原子在晶胞中的位置和原子种类无关。只有通过衍射线束强度的研究，才能解决这类问题。,第二章 X射线衍射原理,图 X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系,(a) 体心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm,(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm,第二章 X射线衍射原理,(c) 体心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm,(d) 体心正交 a=0.286nm，b=0.300nm，c=0.320nm,(e) 面心立方 -Fe a=b=c=0.360nm,第
15、二章 X射线衍射原理,3、布拉格方程的应用,在d、和三个量中，已知其中两个便能求出另一个。 从实验角度，布拉格方程的应用可归结为两方面： X射线衍射学； X射线光谱学。(从样品所辐射的X射线的波长可确定试样的组成元素，电子探针就是按这一原理设计的。),第二章 X射线衍射原理,二、衍射矢量方程,1、衍射矢量： 如图，N为(HKL)衍射面的法线，入射X射线方向的单位矢量为S0，衍射线方向的单位矢量为S，称 为衍射矢量。,布喇格方程与衍射几何条件可以用矢量来统一描述，引入了衍射矢量的概念。,第二章 X射线衍射原理,2、衍射矢量方程,方向上，矢量 ；长度上， 等于倒易矢量的大小。 因此， 为晶面（HKL）倒易矢量 ，即,衍射矢量方程！,第二章 X射线衍射原理,方程的物理意义：当衍射波矢量和入射波矢量之差为一个倒易矢量时，衍射就可产生。 衍射矢量方程、布拉格方程均是表示衍射方向条件的方程，只是反映的角度不同。,第二章 X射线衍射原理,3、衍射矢量方程的几何表达,令K=S/，K=S0/，则 K、g*与K构成矢量三角形，称为衍射矢量三角形。 （为等腰三角形。）,K的终点是倒易矢量(点阵)的起点(原点)O*； K的终点是g*的终点，即(HKL)晶面对应的倒易点。,第二章 X射线衍射原理,三、厄瓦尔德图解
