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1、1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫 仰角，在水平线 的角叫俯角(如图).,上方,下方,2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为(如图).,仰角、俯角、方位角有什么区别？,提示：三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.,3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图) (1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向. (2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.,4.坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角). 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i
2、为坡比).,1.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则 ，之间的关系是 ( ) A. B. C.90 D.180,解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知.,答案：B,2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等， 灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的 ( ) A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10,解析：由已知ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010. 灯塔A位于灯塔B的北偏西10.,答案：B,3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下 列四组数据，不能确定A、B间
3、距离的是 ( ) A.，a，b B.，a C.a，b， D.，b,解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.,答案：A,4.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角 分别是30、60，则塔高为 m.,解析：如图所示，设塔高为h m.由题意及图,可知（200-h） 解得,答案：,5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对 岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB 120m，则这条河的宽度为 m.,解析：如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求宽度，在ABC中， CAB30，CBA75， ACB
4、75， ACAB120 m. 在RtACD中， CDACsinCAD120sin3060(m)， 因此这条河宽为60 m.,答案：60,有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决.,某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离.,【解】 在ACD中，CAD180ACDADC60，CD6，ACD45， 根据正弦定理有 同理，在BCD中，CBD180BCDBDC135，CD6，BCD30，
5、 根据正弦定理得 又在ABD中，ADBADCBDC90， 根据勾股定理有AB= 所以炮兵阵地到目标的距离为,1.某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南 偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上 B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时 测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？,解：如图所示，易知CAD253560，在BCD中， 由BC2AC2AB22ACABcosA，,cosB=,得AB224AB3850， 解得AB35， 所以ADABBD15. 故此人在D处距A有15千米.,测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物
6、体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.,某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,依题意画图，某人在C处，AB 为塔高，他沿CD前进，CD 40米，此时DBF45，从 C到D沿途测塔的仰角，只有 B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,【解】 在BCD中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理得 过B作BECD于E，显然当 人在E处时，测得塔
7、的仰角最大， 有BEA30.在RtBED中， BDE1801353015，,在RtABE中， AEB30， 故所求的塔高为 米.,2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC， CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,解：在BCD中， CBD. 由正弦定理得,所以BC 在Rt ABC中，AB=BCtan,测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了.,在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处( -1)n
8、mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？,本例考查正弦、余弦 定理的建模应用.如图 所示，注意到最快追 上走私船且两船所用 时间相等，若在D处相 遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,【解】 设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD10 ，BD10t， 在ABC中，AB 1，AC2，BAC120， 由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC ( 1)2222( 1)2cos
9、 1206，,ABC45，BC与正北方向垂直. CBD9030120， 在BCD中，由正弦定理，得 BCD30. 即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船.,sinBCD=,3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以 内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B 之间的距离为s n mile，海岸线是过A、B的直线，一外 国船只在P点，在A站测得BAP，同时在B站测得 ABP，问及满足什么三角函数不等式时，就 应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我 国海域？,解：过P作PCAB交BA延长线于C， 在ABP中，由正弦定理，得,当PCd， 即 时，就应向未经特许的
10、外国船只发出警告.,在RtAPC中，PC=sin,在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点.该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点.同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向.,(2009海南、宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和
11、公式写出计算M、N间的距离的步骤.,解 方案一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N的俯角2、2；A、B间的距离d(如图所示). 第一步：计算AM.由正弦定理得 第二步：计算AN.由正弦定理得 第三步：计算MN.由余弦定理得,MN=,AN=,AM=,方案二：需要测量的数据有： A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示). 第一步：计算BM. 由正弦定理得 第二步：计算BN. 由正弦定理得BN= 第三步，计算MN.由余弦定理得,MN=,本题要求考生设计方案解决问题，方案的每一步都应该是充分的、完整的，2009年考生普遍犯的错误是方案一中步骤不够完整，第一步、第二步没能由正弦定理把AM、AN应用所测数据表示出来，造成因解题步骤不规范而失分.,
