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1、第九章 随机振动数学描述,9-1 引言,前面介绍的都是确定性振动问题。对于确定性系统，若激励是随机的，则响应也是随机的，这种问题是随机振动问题。,随机激励，如：路面对车辆，风对塔架，河流对船舶,随机振动的特点是：,规律事先不知道,试验条件相同，但各次测量波形不重复,不能用周期函数或其组合来描述,应该指出：,一个确定性振动，不论波形怎样复杂，也不是随机振动,随机振动复杂振动，如初相位随机变化的简谐振动x=X0sin(t+)(在02之间随机取值)，波形十分简单，但仍属于随机振动,*常见的几种随机激励：,1)固体接触面凹凸不平，如：路面，滚珠轴承，齿轮金属切削加工，,2)流体对固体表面的作用，如：船
2、，堤坝，海洋平台，高层建筑，,*常见的几种随机激励：,3)火箭燃烧放热不均匀，如：火箭发动机，化工储液罐，,4)地震或地面突变，如：地震，火炮发射，采掘机抖动，,*随机振动的利与害,利用,1)诊断与检验：心电图、脑电波分析，轴承、齿轮和发动机的故障诊断,2)找振源、确定传递通道,3) ,危害,对于确定性振动，只要使系统固有频率远离激励频率，就可避免共振发生,但是，对于随机振动，由于激励频率是一连续分布的形式，要避免共振是困难的，只能作某些要求，如：避免在加速度0.1g以上条件下工作，或在振幅大于某个值的条件下工作等等,*研究方法,系统：机械产品，结构物，装置，零部件等，M,C,K表示,激励：系
3、统受到的随时间变化的扰动(位移、速度、力等),*研究课题有：环境调查响应预估系统识别,响应：系统激励作用产生的运动(位移、速度、加速度、 应力等),采用概率统计的方法研究，应用傅立叶分析，把时域信号转换到频域中去考虑,9-2 集合平均 定常过程,无限个、无限长样本xk(t)，随机变量 xk(t1),无限个、无限长样本xk(t)，随机变量 xk(t1)，则集合平均(t1时刻),自相关函数,9-3 时间平均 各态历经过程,通常不可能取无限个样本，而是大量的样本函数作为随机过程的一个近似。,能否用一个样本来描述该随机过程？,若时间平均：,等统计特性对各样本是相同的(与k无关)，则该过程称为各态历经过
4、程，此时可用一个样本的时间平均来讨论。,注意：各态历经过程一定是平稳的，但平稳过程不一定是各态历经的。而要证明一个过程是各态历经的却很难，通常假设过程是各态历经的，除非有证据证明不是。,主要讨论各态历经过程和平稳过程。,9-4 概率分布 概率密度函数 联合概率分布,研究随机变量，不仅要知道它可能取得一些什么值，更重要的是要知道它取得这些值的概率，这就是随机变量的概率分布问题。,关于概率分布函数、概率密度函数、联合概率分布及正态分布过程等内容请看相关书籍。,注意：对各态历经过程，我们可从单个样本函数去求概率分布函数及概率密度函数等。,9-5 随机变量的概率特征及其代数运算,概率密度函数可以描述随
5、机变量的特征，但在实际问题中，有时候并不需要知道随机变量的全部统计信息，或者不容易得到概率密度函数。此时，寻求随机变量的某些既重要又有代表性和确定性的信息来代替随机变量的全部统计信息是重要的。,数学期望(又称集合平均、均值、一次矩),均方值(二次矩),方差(二次中心矩),相关矩(协方差),随机变量X(t1) 与Y(t2)的协方差定义为：,而 称为互协方差系数或互相关系数,若X(t) 与Y(t)互相独立，则xy0,但反过来若xy0，则X(t)与Y(t)不一定互相独立！,特别地，若用X(t)代替Y(t)，则协方差：,对各态历经过程，上述统计特性均可从一个样本信息得到。,(1)自相关函数,9-6 自
6、相关函数及其特性,对平稳过程，有,对各态历经过程，有,一般情况下Rx() 与的关系曲线如下图,常见信号类型的自相关函数如右图,(2)自相关函数的性质,(a)平稳过程x(t)的Rx()是实偶函数，即,(b),(c),(d)自相关函数是有界的，且满足,(e)当|相当大时，有,(2)自相关函数的性质,(f)若随机信号x(t)由噪音信号n(t)和与之不相关的信号(t) 组成，则有,自相关函数Rx()表达了数据信号波形在时间坐标移动前后之间的相似程度，由于各种信号的Rx()的最大值都不一样，且具有量纲，故定义相关系数：,x()无量纲，且最大值为1，当x()1时，波形完全相似(完全相同或完全相反)， x(
7、)0时，波形完全不相似。,注：关于(*)式，谷口修等人的振动工程大全是在x0的条件下定义的，而D.E.纽兰随机振动概论则把相关函数定义为：,由回归方程 而来。,而(*)式可改写为：,当x0时，两者一致。,例已知：随机相位正弦波(视为各态历经过程) x(t)=Asin(ot+)如图(a)所示，其中o为常数， 为随机变量，求自相关函数Rx()。,解：x(t)为各态历经过程，故可由一个样本函数求,Rx() 曲线如图(b)所示,讨论 数据信号是周期函数时，自相关函数也是周期函数，且两者周期相同。,由自相关函数的幅值A2/2可求得周期信号的幅值，即保留了幅值信息。,若信号是由随机相位正弦波和均值为零的且
8、不相关的噪音信号n(t)组成，则由自相关函数性质(f)可知：,实际上，当大到一定程度时，Rn()0，这时便可从Rxn()中观察出数据信号有无周期分量。即通过自相关分析，能检测出隐藏在随机振动中的周期分量，同时能求出该周期分量的振幅A和圆频率o。,(3)自相关函数与自协方差函数之间的关系,协方差函数,自协方差函数,对平稳过程，有,例某汽车前桥、车身测量的加速度波形如图左，自相关函数如图右。车子振动很大，试分析。,前桥的自相关函数两个峰值的时间间隔为0.1s，频率为,车身自相关函数两个峰值的时间间隔为0.11s，频率为,f1与f2都与发动机频率相差很大，故判断不是由发动机引起,经过计算，前桥二自由
9、度耦合自振频率接近于f1与f2,改进的前桥成为二个单自由度系统，左右轮相互影响小,(1)互相关函数,两个随机过程X(t)和Y(t)在时刻t1=t，t2=t+ 的互相关函数定义为,9-7 互相关函数及其特性,对平稳过程，有：,对各态历经过程，有：,右图为典型Rxy() 与的关系曲线,(2)互相关函数的主要性质,(a)一般情况下，Rxy() 与Ryx()是不相同的，且都不是的实偶函数，但有,(b)互相关函数Rxy()是有界的，且有,(c)对大多数随机过程，当|相当大时，可认为x与y互不相关，有,(d)互相关函数的最大值一般不在0处,(2)互相关函数的主要性质,(e)互相关函数Rxy() 与Rx (
10、0) 和Ry(0)有如下不等式,(3)应用,(a)确定输油管裂纹的位置,设声音在管道中传播速度为V(裂纹K漏油时发出的声音)，则有,由互相关函数Rx1x2()找出m即可，而传感器之间距离是已知的(V如何确定？),(3)应用,(b)汽车操纵灵敏度,在方向盘和轮子上安装传感器，记录(t)和 (t) ，求互相关R() ，则m越小越灵敏,(3)应用,(c)找振源，确定传递通道,机器1对地面测点y振动影响的程度为,机器2对地面测点y振动影响的程度为,(3)应用,(d)测定材料的隔声性能,室内A处放置有噪声声源，a和b分别为噪声接收器信号x(t)和y(t)，先在不安装隔声板的情况下，作x(t)和y(t)的
11、互相关分析，然后安装隔声板，作同样分析，如图右。,后者的互相关数值远远低于前者，此值越小表明材料的隔声效果越好。,时域分析不容易看出：,频率成分何种频率成分占优各种频率的振动能量是多少,9-8 频谱分析与谱密度,(1)自功率谱密度(自谱密度),随机过程样本函数x(t)是无限持续，故不满足绝对可积条件：,所以x(t)不能进行傅里叶变换以得到频率信息，此时可考虑用Rx() 作傅里叶变换,设x0(可移轴得到)，且设x(t)中没有周期分量(若x(t)中有周期分量，则Rx() 也为周期函数，不满足绝对可积条件，不能进行傅里叶变换，尽管其傅氏变换存在，为脉冲函数),Rx() 的傅里叶变换及其逆变换为：,这
12、一对傅氏变换称为维纳辛钦公式，记为：,(2)自谱Sx() 的主要性质,(b) Sx() 是的实的非负偶函数,(a),从性质(a)可知Sx()的单位是：均方值单位/频率单位，故又称 Sx()为均方谱密度。,为什么Sx() 称为功率谱密度？主要是根据功率或能量的概念而来，如 都代表能量,而x(t)的平均功率为：,故Sx()描述了x(t)的平均功率在频域中的分布情况，是频率尺度上每单位间隔的功率或能量。,例(纽兰P44)：已知某平稳随机过程x(t)的均方谱密度如图(a)，求自相关函数和均方值。,解: (1)求Rx(),波形如图(b),解: (2)求均方值,若(2- 1)较小，说明谱密度仅在很窄的频带
13、内分布，这种随机过程称为窄带随机过程，相应的有宽带随机过程。,例(纽兰P4547)：白噪声的自相关函数,在前面的例子中，如果(1,2)是一个宽广的频带，则称为宽带随机过程，其时间历程是由各种频率的信号叠加而得，若10, 2，则这个谱称为白噪声谱，即,这是根据白色光的谱密度近似为一个常数而类比的。,实际上，有,即白噪声的自相关函数为函数。,上述结果也可由前面的结果中令10, 2得到：,当2时，除0处的高峰外，其余为零，而此峰为无穷大，宽度为零，面积为S0，如图所示。,由于白噪声的均方值为无穷大，即,因此白噪声仅仅是理论上的概念。但是若一个宽度噪声谱的带宽已大大超过所有感兴趣的频率时，那么这种谱就
14、可视为白谱。,例已知某随机过程的自功率谱密度函数为：,解：,求：自相关函数及均方值。,此式用了留数定理在定积分上的应用,(3)互功率谱密度(互谱密度),与自谱密度函数一样，两个随机过程的互谱密度定义为这两个随机过程的互相关函数的傅立叶变换，即,上述傅里叶变换存在的条件是互相关函数绝对可积，即,(4)过程导数的谱密度,有时候在测量位移，了解位移的谱密度时，用位移计不很方便，往往采用加速度计。这就涉及到加速度随机过程的谱密度与位移的谱密度之间的关系问题。,设随机过程x(t)是平稳的，有,另外,即有：,另方面：,所以：,这是一个很重要的关系，由此式可以从已知的Sx()求出速度的均方值等统计特征。,(
15、5) 谱密度单位的说明,Sx() 对的正负值都有意义，所以称为双边谱密度。但这只是从理论上来说的，而实际测量时，只是对正的频率而言。若考虑频率范围从0，则需要将负频率范围的谱密度折算到正频率范围，从而得到单边谱密度：,的单位为1/S，若频率用Hz(周/秒)表示，则相应的谱密度记为Wx(f) ，则Wx(f) 与Wx()之间的关系为：,(6) 自谱与互谱的用途,自谱的用途,(a)分析结构振动的频率成分,弹簧起到“滤波”与“减振”作用,*车身振动所含频率成分比车轴处要少，“滤波”,(b)对故障进行诊断与分析,(c)给出载荷谱，反映载荷在频率成分上的振动能量与振幅大小，从而设计零部件时避免振幅大的振动频段,互谱的用途,(a)从激励与响应的互谱可识别系统的动态特性,以后可以看到系统的动态特性H()(频率响应函数)与激励和响应的自谱及互谱之间有一定关系。,(b)评价操纵机构在频率域内的操纵性能及灵敏度,图示车轮y(t)与方向盘x(t)，可得Rxy(t)及Wxy(f)与xy(f),*操作性,若|Wxy(f)|曲线高低悬殊较大，则性能不好，平坦则好,*灵敏度,滞后时间越小越好，即滞后角度越小越好,
