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1、,第二节,极限 (之二),一、无穷小（大）量,二、函数的连续性,本节内容 :,当,一、无穷小量与无穷大量,(1)定义 .,时,则称函数f (x),例如 :,函数1/x,为无穷小;,函数,是当,为,时的无穷小量,的无穷小.,1. 无穷小量,注： 0是无穷小.,所有的无穷小都是变量；, 无穷小必须指明x的趋向.,简称无穷小 .,无穷小不是一个很小的数，故除0之外，,结论10,证明：,其中 (x)为,时的无穷小量 .,对自变量x的其它变化过程结论仍成立 .,定理. (无穷小与函数极限的关系),由例,得,当x0的无穷小量,性质1: 有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;,性质2:,常数与无穷小量的乘
2、积仍为无穷小量;,(2) 无穷小量的性质,证明：,注：两个无穷小的商不一定是无穷小.,反例,性质3:,例3.,求,根据性质3，有,是个有界变量,函数x是x0时的无穷小,解：,有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量;,证明：,(3) 无穷小的阶,为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶.,当x0时，x20 比x0 速度“快些”；,反过来，x0 比x20 速度“慢些”；,sinx0 与x0 速度“快慢相仿”.,(3) 无穷小的阶,则称 是比 高阶的无穷小,记,则称 是比 低阶的无穷小;,定义.,为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶.,则称 是 的同阶无穷小;,例如,故当 x0时，
3、x3 是比 3x 高阶的无穷小, 记, 等价无穷小 ,若,或,则称 与 是等价无穷小,记作,例如,故当 x0时, tanx与 x 是等阶无穷小,故当 x0时, ln(1+x)与x是等阶无穷小,当x0时，常用等价无穷小:,例4. 证明:,证:,因此,即有等价关系:, 等价无穷小替换定理 ：,且,存在 , 则,证:,例5.,设,例6(辨析),解:,原式,错误原因: x, sinx不等价于x,和差不能代替,sin不等价于 ;,例,解,错,解,例,解,例 求,解一,解二,(1)定义 . 当xx0 (或x) 时,则称函数f (x)为当xx0(或x)时的无穷大,记作,2.无穷大量,若函数f (x)的绝对值
4、,无限增大，,无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大,例如，,(2)无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理. 在自变量的同一变化过程中,说明:,(不存在),设函数,的某邻域内有定义 ,二、函数的连续性,函数的增量,定义1.,在,则称函数,且,1. 定义,设函数y=f (x),有定义 ,可见 , 函数,在点,定义2.,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,存在 ;,左连续,右连续,若,在区间(a, b)内
5、每一点都连续 ,则称f (x)在该,区间(a, b)内连续 ,或称它为该区间(a, b)内的连续函数 .,则称f (x)是a, b上的连续函数,记作,若f (x)在区间(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左,连续,而在a点右连续,在b点左连续指,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,例7.,分析：,解：,（2）,2. 连续函数的运算法则,定理1. 有限个在某点连续的函数的和 , 差 , 积 ,商,( 利用极限的四则运算法则证明),(分母不为 0),仍是一个在该点连续的函数 .,定理2. 连续函数的复合函数仍是连续函数.,证: 设函数,于是,故复合函数,即,即,函数y =f ( u )在
6、点,定理2. 连续函数的复合函数是连续的.,证: 设函数,于是,故复合函数,且,即,函数y =f ( u )在点,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,在区间,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,为连续函数,在点,在,在,三、函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 ，,设,的某去心邻域内有定义 ,若函数f (x),而点,有下列情形之一:,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为f(x)的间断点 .,在,则称函数 f (x) 在点,无定义 ;,为间断点 .,为间断点 .,例如:,(3),为其间断点 .,显然,为其间断点 .,(4),内容小结,一、两个重要极限,(1),(2),二、无穷小量与无穷大量,1. 定义及性质,3. 无穷大与无穷小的关系,2. 无穷小的阶,作业,练习题1.2 （P27）4,复习题2（P28）. 1, 2, 7,
