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1、2019/1/15,1,Computation Physics,计算物理,学习和了解物理计算的桥梁,2019/1/15,2,计算物理方法是研究并解决物理问题的数值近似解的方法，简称计算物理，也叫算法物理等。 算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。,第0章 绪论,0.1 计算物理方法和算法,2019/1/15,3,运算量：,一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。,2019/1/15,4,算法优劣的重要性,例1 已知 a0, a1, a2 , an, x, 计算多项式： 直接计算：运算量（
2、乘） 秦九韶算法（1247年）： 运算量：,2019/1/15,5,例 2 解线形方程组,其中， 克兰姆(Cramer)法则： 运算量(乘除)： 高斯消元法(Gauss)： 运算量(乘除) Gauss: 3060次； Cramer:,2019/1/15,6,本课程的任务：, 建立各种物理问题的计算物理算法的方法和理论。 通俗地讲，就是为各种实际物理问题提供有效的数值近似解方法。 提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂 性好的各种常用物理算法。,2019/1/15,7,计算机解决实际物理问题的步骤 建立物理模型 选择数值方法 编写程序 上机计算,2019/1/15,8,学习方法,1. 注
3、意掌握各种方法的基本原理 2. 注意各种方法的构造手法 3. 重视各种方法的误差分析 4. 做一定量的习题和练习 5. 注意与实际问题相联系,2019/1/15,9,先修课程和后续课程： 先修课程： 基础物理,高等数学，线性代数，常微分方 程，计算机语言等。 后继课程：数值代数，数值逼近，最优化方法等。,2019/1/15,10,参考书： 1.计算物理引论 2. 数值分析, 李庆扬，王能超，易大义编。 清华大 学出版社 ,2001,2019/1/15,11,0.2 误差与有效数字,误差的来源 1、模型误差 指数学模型与实际问题之间出现的误差。 2、观测误差 由观测产生的误差。 3、截断误差 当
4、数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。如函数 f (x)用Taylor展式的有限项来近似代替。 4、舍入误差 由于受计算机字长的限制，计算时只能取有限位数进行运算，由此产生的误差称舍入误差。,2019/1/15,12,(绝对)误差 设 x* 为精确值（或准确值），x 为 x* 的近似值，称 e = x* x 为近似值x的(绝对)误差。 (绝对)误差限 （ ） 如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过某个正数 ，即 | e |= | x* x | 。 于是，精确值也可表示为 x* = x ， 或,误差的概念,2019/1/15
5、,13,例如 近似值 x1= 123.456 和 x2 = 0.0123456 。它们的绝 对误差限分别为：,绝对误差限不超过该近似数末位的半个单位。,123.4559 123.4563,5个 单位,2019/1/15,14,相对误差,先看两种产品的不合格率： 8/1000=0.8% ； 12/2000=0.6% （相对误差的值） 定义：设 x* 为精确值，x 为近似值，相对误差为 当绝对误差 e 较小时，相对误差可写为,2019/1/15,15,相对误差限,相对误差限,定义 如果有正数r使得 则称r为 x* 的相对误差限。 例如 近似值 x = 123.456 ，则,2019/1/15,16
6、,有效数字： 设 x* 的近似值为,p为整数，若 x 的绝对误差限不超过末位的半个单位，即 则称用 x 近似 x*是具有“ n 位有效数字。” 例0.1 x=12.34；y=0.004067 （均为4位）； 3.00（3位），3.0000（5位）。 | 3.14|10(np)/2=102 /2 ( n = 3, p = 1)。,0.314101,表示数x的末位的半个单位,2019/1/15,17,0.3 约束误差,计算物理的选择 在计算物理中，要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差。 约束误差就是要选择收敛性要求低、稳定性好的计算物理。 提高计算物理精度 数值在计算机中存放的位数称为字长。
7、有限位的字长是带来舍入误差和拟制计算物理精度的根源。因此，选用字长长的计算机和增加数的有效位数可以提高计算物理精度。,2019/1/15,18,0.4 范数,在实轴上，任意两点a,b之间的距离可以用绝对值| ab |来度量。三维空间R中向量的长度为 向量范数是用来衡量向量的大小，它是三维空间中向量长度概念的推广。 向量范数 矩阵范数,2019/1/15,19,向量范数的定义,定义 任意向量x=(x1, x2, xn)TRn，按照一定规则对应一个 非负实数，记为 x,如果满足： （1）非负性 x0，而且x=0 当且仅当x=0； （2）齐次性 xRn ，R，有 x= |a|x； （3）三角不等式
8、则称x为向量 x 的范数。,即定义的形式,2019/1/15,20,Rn中常用范数形式： 设x=(x1,x2,xn)T，,1-范数： x1=|x1|+|x2|+|xn|= 2-范数： x2= -范数:x=max|x1|,|x2|,|xn|= p-范数： xp=,2019/1/15,21,注：定义中的规则十分重要,若定义x=x1 + x2+xn,就构不成范数，因为由x=0不能推出x0。例如，x=（1，-1，0）， 显然，x=0，但是，x0。 例0.2 已知 x=(1, 3,-5)，求1，2，-范数。 x1=1+3+5=9; x2=(12+32+52)1/2; x =max1,3,|-5|=5.,
9、2019/1/15,22,范数的等价性和等价性定理,定义 设 和 为Rn 上定义的两种范数，若存在 非负常数C1, C2,使x Rn 成立 C1 C2， 则称 和 为Rn 上的等价范数。 定理 0.1 有限维空间Rn上的所有范数都等价。 容易验证： （1）x2x1 n1/2x2； （2）xx2 n1/2x； （3）xx1 nx。,3种范数相互等价,2019/1/15,23,证明提示：（1）,由 x12+ x22+ + xn2(|x1|+ |x2|+ +| xn|) 2， 两边开方得第一式成立； 由 (|x1|+ |x2|+ +| xn|) 2 n( |x1|2+ |x2|2+ + |xn|2)
10、， 两边开方得第二式成立。,2019/1/15,24,向量范数的收敛性,定义 如果向量序列x(k) Rn和向量xRn 满足 则称x(k)（依范数）收敛于x，记为 定理0.2 Rn 中向量序列x(k)（依范数）收敛于 x 的充分 必要条件是 (见注),2019/1/15,25,例0.3 求向量序列 的极限向量。,解：,2019/1/15,26,矩阵范数,定义 设ARnn为n阶实矩阵，按照一定规则对应一个非负 实数，记为A,如果A，BRnn满足： (1) 非负性： A0，而且A=0 当且仅当 A=0； (2) 齐次性： A= |A, C； (3) 三角不等式： A+B A + B; (4) AB
11、A B; (5) 相容性： Ax Ax， x Rn; 则称A为矩阵 A 的范数。,2019/1/15,27,矩阵范数可以用向量范数定义,设ARnn为n阶实矩阵，定义矩阵范数为 3种常用矩阵范数： （1） （列向量范数中的最大者） （2） （行向量范数中的最大者） （3） （其中1为ATA的最大特征值）,2019/1/15,28,欧几里得(Euclid)范数或舒尔(Schur)范数：,定义为 例0.4 求4种范数。 解： A1=max|1|+3，2+7； A=max|1|+2，3+710； ATA的特征值 1=60.19， 2=2.81 A2 = 11/2 = 60.191/2， AE= (1+
12、4+9+49)1/2=631/2。,2019/1/15,29,矩阵范数的收敛性,定义 如果n阶矩阵序列A(k) Rnn和矩阵ARnn 满足 则称A(k)（依范数）收敛于A，记为 定理0.3 Rnn 中矩阵序列A(k) 收敛于矩阵A 的充分 必要条件是（ A(k)=(aij(k)nn , A=(aij)nn）,2019/1/15,30,矩阵的谱半径,定义 设n阶矩阵A的n个特征值为1，2，n，矩 阵的谱半径定义为 由2-范数的定义知， 谱半径与矩阵范数的关系 定理 0.3 (A)A. 证明 设为矩阵A的任一特征值，x为对应的特征向量， 由矩阵的定义知， |x=x=AxAx. 因为x0，所以，|A
13、.由的任意性，定理 得证。,实特征值为绝对值 复特征值为模,x0，因为特征值 满足特征方程， 即 | IA|=0, 所以，Ax= x有非零解x。,2019/1/15,31,特别地，对于对称矩阵有：,定理0.4 如果ARnn 为对称矩阵，则A2=(A). 证明 因为A为对称矩阵，即AT=A,则,A2xi=A(Axi)=iAxi= i2xi,2019/1/15,32,2006年9月15日 星期五上午：8:00-11:35 （电气、材料、土木） 星期五下午：14:10-16:45 （机械、化工、工程力学、环水） 北1204教室,2019/1/15,33,2019/1/15,34,在计算机上是否根据数
14、学公式编程就能得到正确结果?,研究例子: 求解线性方程组 其准确解为 x1=x2=x3=1,如把方程组的系数 舍入成两位有效数字,它的解为x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.,2019/1/15,35,规格化浮点数 x= 0.a1 a2.at10c ai0,1,2,9, a10，Lc U 一般情况： x= 0.a1 a2.atc ,=2,8,10,16, ai0,1,2, -1, Lc U F(,t.L,U)表示以上数集全体加数0， 它是计算机中使用有限离散集。,计算机中的数系,阶码,尾数,溢出错误,2019/1/15,36,计算机中数的计算特点: 1. 加法先对阶,后运算,再舍入 2. 乘法先运算,再舍入 3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理,例如:在四位浮点十进制数的计算机上计算1+ 104 解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (对阶计算) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 104,2019/1/15,37,绝对误差：e = x* - x , x* 是准确数 x是近似数 绝对误差限：|e| = |x* - x| 常表示为x= x*
