第二节 不定积分的换元积分法,,本节要点,本节通过复合函数的求导公式, 建立了不定积分的换,一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,元积分公式.,一、第一类换元积分法,在这一目中, 我们将主要考虑复合函数的积分问题.,我们知道,由此得.,又如, 考虑积分,因为,即有,积分, 一般情况又将如何, 这就是下面的积分方法——,即将被积函数写成复合求导形式, 从而求出相应的不定,第一类换元积分法.,基本思想:,若 有原函数 即,则,即有下面的.,定理,设函数 有原函数 且 可导,,⑴,则有积分公式,公式⑴又称为凑微分法, 其要点是:,若被积函数能写,成两项的乘积, 且其中的一项为复合函数的形式, 而另,一项可以凑成中间变量的导数形式, 则可以考虑使用此,方法.,证 因函数 连续, 故存在原函数 满足,再由复合函数的求导公式, 得,此说明,即,为函数 的,原函数, 又因为它含有任意常数, 从而⑴式成立.,注意到, 在⑴中积分公式,的选择, 原函数应该是在基本积分公式中已有的积分.,例1 求积分,解,一般地: 当被积函数形式为 时, 总可作变,换 , 即若 有原函数 , 则,类似地有,例2 求积分,解 因 得,例3 求积分,解,例4 求积分,解,例5 求积分⑴,解,⑴,⑵同理可得,⑵,例6 求积分⑴,解 ⑴,⑵同理可得,⑵,例7 求积分,解 因,故,值得注意的是, 上面的例5, 例6, 例7均可以作为基本,的积分公式.,例8 求积分,解 注意到 则有,注意 在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函,数做某些变换是积分中经常使用的方法. 常用的三角公,式是:,例9 计算下列积分:,⑶ ⑷,解 ⑴,⑴ ⑵,⑵,⑶,⑷,例10 求积分⑴,解 ⑴,⑵,又,,即,⑵,注 此题中的两个公式也可作为两个基本的积分公式.,例11 求积分,解,例12 求积分⑴,解 ⑴分子分母同除以 , 并注意到,则有,⑵,⑵,例13 求积分,解 由三角公式,得积分,定理 设 是单调的、可导函数, 且,证 设 的原函数为 , 记,由,二、第二类换元法,又 有原函数, 则有换元公式,知 是 的原函数, 所以有,上述积分方法即称为第二类换元积分法.,一般, 当被积函数中含有 等因子时,作代换,,作代换,可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:,作代换,作代换,这类代换的主要目的是消去积分表达式中的根式.,例14 求积分,解 令,由,原积分为,例15 求积分,解 做变换,则原积分为:,例16 求积分,解 令,由 知,则,所以,同理可得,注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.,例17 求积分,解 令,则,本节又建立了如下的一些积分公式:,⒃,⒄,⒅,⒆,⒇,(21),(22),(23),利用上述积分公式, 我们可以计算下面积分.,例18 求积分,其中 为非零常数.,解 令 则,例19 求积分,解 令 所以原积分为,故,注 对形如 的积分, 常用代换,从而将积分转换为,例20 求积分,解 令,则有,例21 求积分,⑴ ⑵,⑶ ⑷,解,⑴,⑵,⑶,⑷ 令,则,。