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1、弹性力学习题库,第1章 第2章 第3章,第1章 习题,1-2 1-4 1-7 1-8,习题 1-2,一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？,答：一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的 弹性体。,习题 1-4,应力和面力的符号规定有什么区别？,答：应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（
2、即负面时）这个面上的应力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。 面力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向时为负。,试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。,习题 1-4,试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。,负面,正面,应力和面力的符号规定有什么区别？,习题 1-7,试画出图1-4中矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。,习题 1-8,试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。,第2章 题库,例题 习题,第2章 例题,2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 2.7 2.8 2.9 习题课,例 如果某一问题中， ，只存在平面应力分量 ，且
3、它们不沿z方向变化，仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？,例 2.1.1,答：平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约束沿 z 向均不变化，只有平面应力分量 ，且仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是平面应力问题。,例 2.1.2,（本章习题21） 如图214，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。,答：在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有 ，只存在平面应力分量 ，且它们不沿z方向变化，仅为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。,如图所示的几种受
4、力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,例 2.1.3,例2.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式 ，由平衡微分方程导出另两个应力分量。,例 2.2.1,解:(1)将 代入平衡微分方程第一式,(2)将 代入平衡微分方程第二式,例2.3.1：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的大小及方向（2）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力和正应力。,例 2.3.1,CB面上,先求应力分量 ：,例 2.3.1
5、,先求应力分量 ：,AB面上:,方向向量:,（1）求主应力的大小及方向,例 2.3.1,（2）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力和正应力。,例 2.3.1,例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。,例 2.4.1,例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。,例 2.4.1,例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。,例 2.4.1,例 2.6.1,试列出图示问题的边界条件。,(2),(1),例 2.6.1,(3),例 2.6.1,
6、(4),例 2.6.2,试列出图示问题的边界条件。,左边界：,右边界：,上边界：,下边界：,例 2.6.2,左边界：,例 2.6.2,右边界：,例 2.6.2,上边界：,例 2.6.2,下边界：,例 2.6.3,代入边界条件公式，有,试列出图示问题的边界条件。,例 2.6.3,例 2.6.3,例2.7.1,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,例2.7.1,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,例2.7.1,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,取图示微元体，由微元体的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,为次要边界
7、，可由圣维南原理求解。,取图示微元体，由微元体的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,取图示微元体，由微元体的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,注意：,必须按正向假设！,如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。,左右边界：,上边界：,例 2.7.2,习题2-9（1）,在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：,例 2.7.3,在小边界（次要边界） 上，能精确满足下列边界条件:,习题2-9（1）,例 2.7.3,在小边界（次要边界） 上，有位移边界条件：,习题2-9（1）,例 2.7.3,这两个位移边界条件可以用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚
8、=1时，,习题2-9（2）,下边界：,例 2.7.3,上边界:,习题2-9（2）,左边界,例 2.7.3,习题2-9（2）,右边界,例 2.7.3,例2.8.1,习题2-11： 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？,（1）用位移表示的平衡微分方程（2-18）,（2）用位移表示的位移边界条件（2-14）,（3）或用位移表示的应力边界条件（2-19）,【答】,1、将问题作为一维问题处理。有 u=0 , v = v(y)泊松比m=0，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然满足，第二式变为,设如图(a)所示的杆件，在y方向的上端固定，下端自由，受自重体力fx=0， fy =rg（r为
9、杆的密度，g为重力加速度）的作用。试用位移法求解此问题。,求解上述常微分方程，积分得,例 2.8.2,2、根据边界条件来确定常数 A 和 B,上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和 sy |y=h=0 分别代入位移函数及式（2-17）的第二式,可求得待定常数 A=rgh/E 和 B=0。从而有：,Chapter 2.8,3、代入几何方程（2-8）求应变 ey,Chapter 2.8,4、代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力 sy,图(b)所示的杆件,例 2.8.2(b),位移： 应变： 应力：,1、用位移表示的平衡微分方程,图(b)所示的杆件,求解上述常微分方程，积分得,例 2.
10、8.2(b),2、由边界条件求常数项,图(b)所示的杆件,例 2.8.2(b),上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和 v(y) |y=h=0,3、代入几何方程（2-8）求应变 ey，,Chapter 2.8,4、代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力 sy,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,Chapter 2.9,例 2.9.1,Chapter 2.9,解,（1）将式（a）代入平衡方程：,满足,（2-2）,（a）,Chapter 2.9,将式（a）代入相容方程：, 式（a）不是一组可能的应力场。,（a）,Ch
11、apter 2.9,（b）,（2）将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,在无体力的情况下，试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存在？ sx =A(x2+y2)，sy = B(x2+y2) ，txy=Cxy,解：弹性体的应力，在单连体中必须满足（1）平衡微分方程（2）应力表示的相容方程（3）应力边界条件,1、为了满足平衡微分方程，代入可得： A = B = -C/2,Chapter 2.9,例 2.9.2,2、为了满足相容方程，代入可得：AB = 0,显然上述两组条件是矛盾的，故此组应力分量不存在。,Chapter 2.9,例2.9.3,图示矩形截面
12、悬臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 ，然后说明这些表达式是否代表正确解。,【解】,材料力学解答：,是否满足三个条件： （1）平衡方程？ （2）相容方程？ （3）边界条件？,（a）,（1）代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,满足相容方程。,（2）代入相容方程：,满足,（3）验证应力分量是否满足边界条件：,上、下侧边界：,满足,（3）验证应力分量是否满足边界条件：,近似满足,左侧边界：, 满足,（3）验证应力分量是否满足边界条件：,近似满足,右侧边界：,由圣维南原理：,结论：式(a)为正确解,所以材料力学所得应
13、力表达式为正确解。,第2章 习题课,如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？,下列几种受力体中，哪个可以考虑为平面应力(应变)问题？,习题2-16：设已求得一点处的应力分量，试求,题 2.2,(a),(b),(c),(d),题 2.3,试写出下图所示各平面物体的位移边界条件（用直角坐标）。,(a),(b),x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0,x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0,题 2.4,试写出图示平面物体的应力边界条件。,【解】,题 2.
14、5,试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在：,其中：A、B、C 为常数。,(a),(b),(c),判断是否满足相容方程（2-20）,(a)相容；,(b)须满足B=0,2A=C;,(c) 不相容。只有C=0，则,题 2.6,(1),在无体力情况下（单连通域） ，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,(2),【解】弹性体的应力，在单连体中必须满足: （1）平衡微分方程 （2）应力表示的相容方程 （3）应力边界条件,（1）式不满足平衡微分方程 （2）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得A+B=0,两者矛盾。,第2章 习题,2-9 2-14 2-18,习题 2-14,（a）,【
15、解】弹性体的应力，在单连体中必须满足: （1）平衡微分方程 （2）应力表示的相容方程 （3）应力边界条件,(1) 检验是否满足平衡微分方程,（2-2）,将应力分量代入方程（2-2），得等式左右均等于0。 故该应力分量满足平衡微分方程。,(2)检验是否满足应力表示的相容方程,结论：该应力分量满足平衡微分方程，但不满足相容方程，因此，该应力分量不是图示问题的解答。,体力为常数时，应力表示的相容方程为：,将应力分量代入上式，得,等式左边=,故该应力分量不满足相容方程。,第3章 题库,3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 习题课,例3.1.1,判断 能否作为求解平面问题的应力函数。,可见， 能满足相容方程，可作为应力函数。,解：,解：按逆解法 1、将代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。 2、将代入式（224），得出应力分量：,例3.1.2,习题3-6,3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：,在主要边界上：,因此，在y=h/2的边界面上，无任何面力作用，即,在 x=0, l 的次要边界上：,各边界
