《2017高中数学课本典例改编之必修一：专题四 基本初等函数 (含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017高中数学课本典例改编之必修一：专题四 基本初等函数 (含解析)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、题之源：课本基础知识1.求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：已知三个点的坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式更方便2含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间m，n上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴
2、”即为抛物线的对称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已3.分数指数幂 （，且）（1）.如；(2) . 如；（3）；（4）当为奇数时，； 当为偶数时，.4.有理指数幂的运算性质（）（1）； （2）； （3）5.指数函数（且），其中是自变量，叫做底数，定义域是Rxy01y图象10x性质（1）定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数6.若，则 叫做以 为底的对数。记作：（，）其中，叫做对数的底数，叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式：7.对数的性质（1）零和负数没有对数，即中；（
3、2）1的对数等于0，即 ；底数的对数等于1，即8.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：自然对数：以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：9.对数恒等式：10.对数的运算性质（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;(3) （注意公式的逆用）11.对数的换底公式 (,且,且, ).推论或； .12.对数函数（，且）：其中，是自变量，叫做底数，定义域是图像x1y01x0性质定义域：(0, )值域：R过定点（1，0）增函数减函数取值范围0x1时，y1时，y00x0 x1时，y013.指数函数与对数函数互为反函数；它们图象关于直线对称.14.幂函数（），其中是自变量。要求
4、掌握这五种情况(如下图)15.幂函数的性质及图象变化规律：（）所有幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（）当时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间上是增函数（）当时，幂函数的图象在区间上是减函数二、题之本：思想方法技巧1.底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称;底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.2.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.3. 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为
5、桥梁来比较大小4.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.5幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x2或x的交点纵坐标的大小反映一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数yx0)6幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函
6、数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点7.判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义中的“标准”形式如f(x)2x2不是指数函数，而f(x)23x是指数函数，因为f(x)23x8x，此时a8，同样f(x)2x1也不是指数函数，因为f(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a1)的形式8.若，则，。三、题之变：课本典例改编1. 原题（必修1第五十九页习题2.1第8题）已知下列不等式，比较，的大小（1） (2)改编1 设，那么 （ ）A.aab B.a ba C.aab D.aba【答案】C.改编2 已知，则 （ ）A B. C. D.【答案】A.【解析】 由已知，
7、因为在定义域内是单调递增的，所以，故答案为A.改编3 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（） A B C D 【答案】D.【解析】 本题根据反函数的定义求出的解析式，再用换元法判断的单调性，结合条件在区间上是增函数，求出实数的取值范围是，故答案为D.2. 原题（必修1第七十五页习题2.2 B组第2题）若，且，求实数的取值范围.改编1 若，则的取值范围是 （ ）ABCD【答案】C.【解析】 当时，若，则，当时，若，则，此时无解！故选C.改编2 设，函数，则使的的取值范围是（ ）A B C D【答案】C.3. 原题（必修1第七十五页习题2.2 B
8、组第4题）已知函数，且（1）求函数定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.改编1 已知是偶函数，定义域为.则 ， .【答案】，.【解析】 函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.，.改编2 函数的图象关于 （ ） A轴对称 B轴对称 C原点对称 D直线对称【答案】B.【解析】 函数定义域为，所以，所以函数为偶函数，图像关于轴对称.故选B.改编3 若函数是奇函数，则 【答案】4.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第七题）已知，求证：（1），（2）.改编 给出下列三个等式：.下列选项中，不满足其中任何一个等式的是（ ） ABCD【答案】B.【解析】依据指数函数，对数函数，三角函数的性质可知，满
9、足，满足，满足，而不满足其中任何一个等式.故选B.5.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第八题）已知,求证:（2）.改编 定义在上的函数满足对,都有成立,且当时，给出下列命题:；函数是奇函数；函数只有一个零点；,其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C.6.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第一题）已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 改编 在平面直角坐标系中，集合，且，设集合中的所有点的横坐标之积为，则有（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】由图知与图象交于不同的两点，设为，不妨设，则，在R上递减，当时，;当时，故选B.7.原题（必修1第八十三页复习
10、参考题B组第三题）对于函数（a R）（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使f（x）为奇函数？改编1 对于函数f(x)=a+ (xR)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0【解析】（1）：设，则f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是单调减函数（2）f（x）是奇函数，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数，f（2t+1）+f（t-5）0转化为f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故
11、所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集为：t|t改编2 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围8.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第四题）设，求证：（1）；（2）；（3）；改编1 设，给出如下结论：对任意，有；存在实数，使得；不存在实数，使得；对任意，有；其中所有正确结论的序号是【答案】.改编2 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】.【解析】，得，即，解得，即得，参数分离得，因为（当且仅当，即时取等号，的解满足），所以.改编3 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足：，则 .【答案】
