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1、学习要求,1.理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在自变量的某个过程中的极限。 2.掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求分段函数在分段点的极限。,1.2 极 限,割圆求周长,思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长 随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。,问题：若正多边形边数n无限增大， 两者之间的关系如何？,我国古代数学家刘徽用割圆术, 初步解决了这个问题。,1、 求圆的周长问题,一、极限概念的引入,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,割圆术：,“
2、割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘
3、徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,通过上面演示观察得: 若正多边形边数n无限增大，则 正多边形周长无 限接近于圆的周长。,1、数列极限定义的引入,例,解：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,对于“无限接近”这种变化趋势，我们给出下面的数学定义：,通过上面演示观察得:,二、数列极限,注意： 如果数列没有极限,就说数列是发散的.,2. 数列极限的定义,例,解：,0,确定常数,极限存在,（非确定常数）,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变
4、化情形.,的图形可以看出:,如何描述它？,正,发现问题没有?,当x+时,函数趋于/2; 当x-时, 函数趋于-/2;,那 ?,例,思考题：,的极限存在吗？,1,2、当x时,函数f(x)极限存在的充要条件,1、,不存在,0,不存在,0,不存在,（2）,（1）,不存在,例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在.,2、,不存在,小 结,1.研究变量(数列或函数)的变化趋势,2. 数列极限:当n时, an A.否则无极限。,3.函数极限,(1) 当x时, f (x) A,(2) 当x+时, f (x) A,(3) 当x-时, f (x) A,注意：,2、 xx0 时函数的极限,解：由图形可以看到,f
5、 1( x ) 在点 x= 1 处有定义.,函数 f 2( x ) 在点 x= 1 处没有定义.,例：观察并求出下列极限,=1,=0,=0,=1,=1,=-1,总结：若函数f(x)是定义域为D的初等函数，且有限点,，则极限,如：,C,3、单侧极限(左极限和右极限),解,观察可知:,例,左极限,右极限,求,1,4 .函数在一点极限存在的充分必要条件,左、右极限相等极限存在,左右极限存在但不相等,证,例,例,解,分段点左右两边表达式相同不需分左右极限,5、讨论分段函数在分段点的极限的步骤:,注意：有时不需分左右极限求解,练习,解,解,练习,五、极限的性质,2、局部有界性,1、唯一性,了解即可！,六、小结,2.理解极限的七种变化过程的极限的定义,3.用定理1.1讨论分段函数在分段点的极限,4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.,
