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1、第一节 微分中值定理,高等数学 第三章,复习,Fermat引理,有定义,如果对,有,那么,推论,例,证明：,三、柯西(Cauchy)中值定理,特别地,这两个,错 !,柯西定理的下述证法对吗 ?,讨论,不一定相同,证,作辅助函数,例,证,分析:,结论可变形为,罗尔 定理,Lagrange 中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,四、小结,一个引理、三个中值定理、一个推论；,应用三个中
2、值定理常解决下列问题,(1) 验证定理的正确性;,(2) 证明方程根的存在性;,(3) 引入辅助函数证明等式;,(4) 证明不等式;,(5) 综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足Lagrange定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,练习,分析,2. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足Rolle定理条件.,设,分析,3.,证,即,4. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦
3、即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,第二节 洛必达法则,高等数学 第三章,定义,定理1：设,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,则有,证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点,故 x = a 只可能是可去间断点,（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。,注意：,定理2,则,（3） 定理1中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,例,解,例,解,例,解：,正解：,注意: 不是未定式不能用LHospital法则 !,定理3：设,例,解,例,解,用洛必达法则应注意的事项,只要是,则可
4、一直用下去;,(3) 每用完一次法则,要将式子整理化简;,(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.,(2) 在用法则之前,式子是否能先化简;,例5. 求,解:,原式,例6. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,例7. 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,例,解,例,解,例,解,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.,例,解,练习,解,先把此定式因式分离出来,例,解,极限不存在,洛必达法则失效.,LHospital法则的使用条件.,用法则求极限有两方
5、面的局限性,当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.,?,可能永远得不到结果!,分子，分母有单项无理式时,不能简化.,如,其实:,其二,用法则求极限有两方面的局限性,例,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型,步骤:,或,例,解,例,解,步骤:,例,解,Guan,法一：化为指数函数,法二：取对数,步骤:,步骤:,lim,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,数列的极限,由于,是,中的一种特殊情况,所以有,不能用洛必达法则,练习,解,法一,用三次洛必达法则可求得.,法二,结合其它方法用三次洛必达法则可求得.,法三,练习,均为正数.,解,
6、法一,解,法二,解: 原式,例 求,通分,取倒数,取对数,1.,解,极限不存在,洛必达法则失效.,思考题: 以下解法对否?,注意：洛必达法则的使用条件,2.,解,1.,解,思考题: 以下解法对否?,2.,解,注意：LHospital法则的使用条件,四、小结,一、,二、,三、,注意,但求某些未定式极限不要单一使用洛必达,应将所学方法综合运用.,尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.,各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用,的工具,法则,三大类未定式,(1) 存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.,(2) 凡乘积或商的非零无穷小因式, 可先用简单形式的等价无穷小替换.,务必记住
7、常用的等价无穷小.,思考题,?,思考题解答,错,正确的做法是,不一定存在.,则,练习 求,解: 令,原式,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,例13,解,洛必达法则失效。,例14,解：,例15,解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则,注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的 极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函 数的极限，再用法则。,数列极限转化为函数极限,(1),(2)1/2;,(3)1/e;(4)1;(5)1/e;(6)2/3,三、小结,使用洛必达法则时的注意事项,(1) 所求极限一定要是,(2) 可连续使用法则，但每次使用前必须验 证法则的条件。,(3) 其它形式的未定式必须先转化为,再用法则。,(4) 当法则失效时，不能说明原极限不存在， 要改用其它方法。,(5) 注意将法则与其它方法结合使用。,(6) 对数列极限使用法则时，必须先转化为函数极限,课堂练习题,课间休息,
