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1、1,16 结构的稳定计算,2,16.1 两类稳定问题概述,结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象称失稳破坏，其相应的荷载称为结构的临界荷载。压杆的实际承载能力应为上述两种平衡荷载中的最小者。,3,强度验算,刚度验算,稳定验算,某些时候是必须的,高强材料结构 （如钢结构）,主要受压的结构等,而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。,强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的；,4,所谓结构
2、的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。,球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：,如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为 稳定平衡,如小球受到干扰后失去回到原先的平衡位置的可能性，则称该状态为 不稳定平衡,如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为 随遇平衡,5,结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。,结构的失稳类型,第一类失稳（分支点失稳）,第二类失稳（极值点失稳）,6,定义 完善体系受压杆件均为理想受压杆的结构体系；,非完善体系如结构中受压杆有初曲率，或
3、荷载有 初偏心，则这类结构体系称非完善体系。,7,第一类失稳的基本特征,FPcr,I 稳定,II 不稳定,FP FPcr时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。,FP FPcr时，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。,完善体系,结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。,8,发生第一类失稳的还有：,他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路径。,9,第二类失稳的基本特征,FP,FPcr,初始缺陷使得开始
4、加载杆件便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量相平衡，承载力下降，杆件便丧失原承载能力。,非完善体系,是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。,10,他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。,发生第二类失稳的情况：,FP,11,当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上
5、也属极值点失稳（跳跃屈曲）。,扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征,FP,FPcr,由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题,12,稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。 不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。,13,16.2 有限自由度体系的临界荷载,确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为体系失稳的自由度。,DOF = 1,DOF = 2,DOF = ,14,主要计算方法
6、：,静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。,15,一、静力法,在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。,第一解：,第二解：,1、单自由度完善体系的分支点失稳,A,B,A,B,16,临界荷载：,(1) 大挠度理论,FPcr,I 稳定,II 不稳定,(2) 小挠度理论,大、小挠度理论 临界荷载相同,17,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,A,B,A,B,18,1
7、.57,求极值点处的临界荷载,1.00,(1) 大挠度理论,19,(2) 小挠度理论,A,B,20,结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳。 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精确解。,分析结论,21,第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷
8、载偏大，不安全。 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。,分析结论,第一类失稳仍有其重要地位,22,例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr,平衡方程,特征方程,特征根,解：从临界平衡状态的两重性出发,23,例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。,24,稳定方程,屈曲时可确定 y1和 y2的比值,位形图,临界荷载,25,l,l,l,k,k,FP,A,B,C,D,
9、EI= ,EI= ,EI= ,例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。,26,1,1,1,1,27,计算步骤：,1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态； 2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图； 建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程； 由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图； 5 最小特征值即临界荷载。,28,多自由度体系失稳的基本特点：,1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程； 2 具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n个可能失稳
10、形态； 3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的； 4 真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。,29,二、能量法,依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。,势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（EP =0）。,该驻值条件等价于平衡条件,保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：,稳定平衡,随遇平衡,不稳定平衡,30,变形体系势能：,= 荷载势能 + 变形势能,
11、由广义坐标变分的任意性,关于广义坐标ai 的齐次方程,广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。,关于广义坐标的总势能驻值条件：,31,例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr,解：从临界平衡状态的能量特征出发,系统总势能,32,例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr,解：从临界平衡状态的能量特征出发,表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的,33,l,l,l,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,例题：用能量法求图示体系的临界荷载FPcr.,解：,34,1,1,1,1,势
12、能驻值条件,特征向量方程组,特征方程（非零解条件）,特征值,特征向量（失稳形态）,临界荷载,35,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,从能量角度观察失稳位移图形可以发现: 当两种情况下铰结点(弹簧)位移数值相等时,反对称位移形态的D点水平位移较大。或者说，D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。,36,16.3 无限自由度体系的临界荷载,引入假定： 1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变； 2 材料是线弹性的； 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变
13、形的影响。,无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是静力法和能量法,37,1. 等截面压杆的临界荷载,静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。,一、静力法,对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。,A,B,A,B,38,1. 等截面压杆的临界荷载,边界条件: x = 0 时, y = 0 ; x = l 时, y = 0,A,B,A,B,39,边界条件: x = 0 时, y = 0 ; y =0 x = l 时, y = 0,例题：静力法求图示体系的临
14、界荷载FPcr.,解：建立变形体平衡方程,A,B,A,B,40,非零解需要系数行列式为零，得稳定方程,这是以l为自变量的超越方程，通常用试算法或图解法求解稳定方程的最小正根。,零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。,41,设： y1= l y2= tan l,变形曲线不是唯一的，是一组形状相同而幅度不同的曲线族（类似振型）。,图解法:,两条线有无穷多交点，即有无穷组解。,最小的非零根： l=4.493,42,例题：静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱AB的计算长度。,解：建立变形体平衡方程,43,边界条件: x = 0 时 y = 0 x = l 时 y = y = 0,44,展开，得超越
15、方程：,讨论：,（1）如果I2= 0，则 k = 0,当EI1为有限值时，l0，所以,（2）如果I2= ，则 k = ,45,（3）如果I2= I1 ，则 k = 3EI/l3,有讨论（1）、（2）知,试算法:,令,则,所以,27.09,4.4,3.0,5.86,2.3,0.5,0.043,2.21,2.20,-0.024,-0.5,2.0,1.6,-34.5,46,分析对称杆件的失稳变形形态,FP,FP,由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。,实际结构中压杆的支承常是弹性的：,47,对称的失稳的位移形态,反对称失稳的位移形态,48,当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，
16、应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、下限可由概念分析得出。,反对称情况，如刚架梁EI10,对应悬臂柱，得临界荷载下限：,反对称情况，如刚架梁EI1,对应滑动支座，得临界荷载上限：,讨 论：,刚架反对称临界荷载变化范围：,对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的失稳只能是反对称的。,49,2. 变截面压杆的临界荷载,工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。,FP,以图示体系为例分段建立平衡微分方程：,设：,50,2. 变截面压杆的临界荷载,平衡方程的解：,积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：,当x = 0 时，y1 = 0；
