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1、第五章 力法,5-7 温度变化和支座移动时超静定结构的计算,超静定结构：具有多余约束的结构。,几何特征：具有多余约束的几何不变体系。,静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。,外部一次超静定结构,内部一次超静定结构,一、超静定结构的静力特征和几何特征,5-1 超静定结构概述,思考：多余约束是多余的吗？,从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。,超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强,5-1 超静定结构概述,二、超静定结构的类型,超静定梁,超静定刚架,超静定拱,两铰拱,无铰拱,5-1 超静定结构概述,超静定桁架,超静定组合结构,5-1 超静定结构概述,Me
2、thods of Analysis of Statically Indeterminate Structures,遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：,以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method）。,三、超静定结构求解方法概述,1. 力法-以多余约束力作为基本未知量,基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全 确定。-关键量,5-1 超静定结构概述,超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。,一、概念,二、确定方法,1）由计算自由度 确定,2）去约束法,将多余约束去
3、掉，使原结构转化为静定结构。,？,5-2 超静定次数的确定,3）框格法,一个封闭无铰框格,个封闭 无铰框格,5-2 超静定次数的确定,若有铰 单铰数，则,5-2 超静定次数的确定,通常用解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次数，应注意以下几点：,（1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。,两铰拱，一次超静定结构。,一次超静定桁架,曲梁，静定结构。,静定桁架,5-2 超静定次数的确定,去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定,去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束,5-2 超静定次数的确定,（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。,（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于
4、拆掉三个约束。,切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。,5-2 超静定次数的确定,（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。,三次超静定刚架,静定三铰刚架,静定悬臂刚架,5-2 超静定次数的确定,（5）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。,注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的, 解除约束后的体系必须是几何不变的。,1. 力法基本思路,原（一次超静定）结构,1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系)。,基本体系,去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。,5-3 力法的基本概念,2)、沿多余未
5、知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力X1 。,原结构的B是刚性支座, 该点的竖向位移是零。即原结构在的X1位移为：,位移协调条件：基本结构在原有荷载 q 和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。,在变形条件成立条件下,基本体系的内力和位移与原结构等价.,5-3 力法的基本概念,在荷载作用下B 点产生向下的位移为1P, 未知力的作用将使B点产生的向上的位移为1X 。,要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的位移也与原结构一样，要求：,位移协调条件1=1X+1P=0 (a) 1P 基本结构由荷载引起的竖向位移, 1X 基本结构由知力引起的竖向位
6、移。,5-3 力法的基本概念, 单位载荷位移,自乘, 广义荷载位移,互乘,5-3 力法的基本概念,将11、1P 入力法典型方程，解得:,3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。,5-3 力法的基本概念,2. 几个概念,力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力, 即超静定次数。,力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。,力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。,力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开
7、式，称为力法的基本方程。,5-3 力法的基本概念,力法的特点 以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。 以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。 根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件，建立关于多余约束力的方程力法方程。 求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。,将未知问题转化为已知问题，通过消除已知 问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。 这是科学研究的基本方法之一。,5-3 力法的基本概念,选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。,思考：力法的基本体系是否唯一？,答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本
8、体系。,5-3 力法的基本概念,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,注意的问题 超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本体系的静定结构必须几何不变。,一个超静定结构可能有多种形式的基本体系，不同基本体系带来不同的计算工作量。,5-3 力法的基本概念,力法基本思路小结:,根据结构组成分析，正确判断多余约束个数超静定次数。,解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力基本未知力。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件力法典型方程。,
9、从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,5-3 力法的基本概念,超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M 。,一、多次超静定的计算,原结构,基本体系,（1）力法基本未知量X1 与X2,5-4 力法的典型方程,（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和多余 力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应 与原结构相应的位移相等。,（a）,5-4 力法的典型方程,（b）,将 ， ，,代入（b）式，,得两次超静定的力法基本方程,（c）,5-4 力法的典型方程,（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力 与荷载单独作用
10、下的弯矩图。,5-4 力法的典型方程,5-4 力法的典型方程,（4）求出基本未知力。,将计算出来的系数与自由项代入典型方程,得,解方程得 ，,求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。,5-4 力法的典型方程,先作弯矩图（ ），把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。,由刚结点C 的平衡可知M 图正确。,(5) 作内力图。,7-4 力法的典型方程,由前面所得结果 ，,杆AC:,杆CB:,作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。,5-4 力法的典型方程,有无简单方法,取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得,作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的
11、剪力便可求出轴力。,5-4 力法的典型方程,二、力法典型方程,n 次超静定定结构，力法典型方程为,（7-1a）,柔度系数ij 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。,思考：柔度系数由什么的特点？,答： ， 。,5-4 力法的典型方程,自由项 iP荷载作用下引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。,通常先用叠加原理计算弯矩,由力法典型方程解出n 个基本未知数X1，X2， ，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。,由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。,5-4 力法的典型方程,1、力法的典型方程是体系的变形协调方程； 2、主系数恒大于零，副系
12、数满足位移互等定理.,小结：,5-4 力法的典型方程,力法应用例题 (超静定梁),【例】用力法求作图示两跨连续梁的弯矩图。已知 。,【解】 判别超静定次数，选基本体系。,本结构1次超静定，取基本体系如图。,注意：基本结构的选择应尽量使力法方程的系数项和自由项计算简单，即尽量使基本结构在多余约束力和外荷载作用下的弯矩图简单，便于图乘。,列出力法方程：,(物理含义？),作单位弯矩图 和荷载弯矩图 ，计算系数项 和自由项 。,1,5-5 力法的计算步骤和示例,力法应用例题,【例超静定梁】用力法求作图示两跨连续梁的弯矩图。已知 。,1,解方程：,作最终弯矩图：,5-5 力法的计算步骤和示例,力法的解题
13、步骤,（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力, 即基本未知数。即得基本体系。,（2）列力法方程式,（3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。,（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。,（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图, 也就是原结构的内力图。,（6）校核。,5-5 力法的计算步骤和示例,1、基本体系与基本未知量：,2、基本方程,5-5 力法的计算步骤和示例,力法应用例题 (超静定刚架),18,27,
14、9,6,6,3,6,6,3、系数与 自由项,5-5 力法的计算步骤和示例,4、 解方程,5、内力,2,1.33,4.33,5.66,16,5-5 力法的计算步骤和示例,练习：用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。,解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。,原结构,基本体系,（2）列出力法典型方程,（a）,5-5 力法的计算步骤和示例,(3)计算系数及自由项。作 、 图,由图乘得,5-5 力法的计算步骤和示例,(4)解方程求未知力。,将 与 代入式（a），消去公因子 ，得,解此方程得,(5)求作弯矩图。,（左侧受拉）,（右侧受拉）,5-5 力法的计算步骤和示例,由 ,得支座B 的竖向反力为
15、7.5 kN（ ）。,(6)作剪力图。,利用BE 杆力偶系平衡条件得,同理,5-5 力法的计算步骤和示例,支座A 的竖向反力为22.5kN（ ），杆DC 的D 端剪力应等于,(7) 作轴力图。 根据最后剪力图可作出最后轴力图。,5-5 力法的计算步骤和示例,【例超静定桁架】用力法求图示桁架内力。各杆 。,【解】 2次超静定，选基本体系如图。,5-5 力法的计算步骤和示例,力法应用例题 (超静定桁架),力法方程：,5-5 力法的计算步骤和示例,解方程，得,所有杆件最终内力均采用叠加法计算，以AB杆件为例：,5-5 力法的计算步骤和示例,【思考题】上述计算中基本结构（一）是将多余的桁架杆件切断，请考虑能否将多余的桁架杆件去掉，选择基本结构（二）进行力法计算？二者有何区别？,基本结构的力法方程：,力法方程表示与多余约束力对应的几何条件，两个不同基本结构多余约束力的作用点发生了变化，故力法方程应该不同。,基本结构的力法方程：,两个方程的主系数计算不同， 的方程主系数比的方程主系数大，各多了一根斜杆的内力功项，其大小刚好等于方程等号右边项的系数。故两个方程等效。,5-5 力法的计算步骤和示例,练习：用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。,基本体系,(3) 计算系数及自由项。,解: (1) 确定超静定次数及选定基本体系。,(2) 列出力
