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1、西南财经大学经济数学系 孙疆明,高等数学 微积分,审,物,定 积 分,定积分的概念,定积分的基本性质,变上限函数,定积分的基本公式,换元积分法,分部积分法,微元分析法,定 积 分 应 用,平面图形面积,已知平行截面函数物体体积,经济中的应用,广义积分,返回,曲边形的面积,1. 面积,曲边形的面积计算,曲边梯形,(1) 划分区间，求近似值,(2) 无限细分，求取极限:,变速运动物体走过的路程问题,(1) 求近似值,分成小时间间隔,v(t)变化也小,(2) 无限细分,求取极限:,总路程 s 近似值,划分区间,定积分的概念,定积分定义：,记作:,积分上限,积分下限,称为积分区间,定积分是 : 积分和
2、式的极限,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,（二）定积分的几何意义,证,证,解,问：这个做法对不对？,关键：定积分的存在性,三、定积分的基本性质,定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关,性质一： 线性性质,性质二：关于区间的可加性,关于区间可加性的推广,性质三：积分的不等式性质,（证明：利用极限的保序即得）,性质四：积分的保号性,证,用反证法,性质五：积分的不等式性质,注意,性质六：积分的估值性质,解,性质七：积分中值定理,平均高度,函数平均值,上限变量,积分变量,变上限积分积分变限函数,定理1:,注意 连续函数一定存在原函数 ！,路程函数是速度函数的原函数,证 (1),用连续定义
3、证明,证 (2),用导数定义证明,解,解,解,注意 变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态。,解,解,二、牛顿莱布尼兹公式,定理2:,证,牛顿莱布尼兹公式将定积分 的计算问题转化为求被积函数的 一个原函数的问题.,解,解,解,定积分的换元积分法,定理1: (定积分的换元积分法),证,解,解,证(1),为什麽?,定积分与积分变量 所用字母无关！,例如:,定积分的分部积分法,定理2: (定积分的分部积分法),证,利用牛顿莱布尼兹公式,即,解,解,解,可以应用定积分计算的量有如下特点:,微元分析法,定积分应用,关键是 部分量 的近似,微分近似,微元分析法,几何应用,（一）
4、平面图形的面积,1. 直角坐标系下平面图形面积的计算,根据定积分的定义和几何意义知,面积微元,解,解,*2. 极坐标系下平面图形面积的计算,解,A(x),(二)已知平行截面空间立体的体积,1. 已知平行截面面积立体的体积,2. 旋转体(绕x轴)的体积,3. 旋转体(绕y轴)的体积,解,解法一,解法二,例2 生产安排 一项合同要求在 T时交货 Q。如果生产中单位时间单位产品 的存储费为 m；任意时刻单位时间的生产费用 f 与生产率有关， 且生产率每增加一个单位,单位时间生产费用的增加与这时的生产 率成正比,比例系数为 k。试确定应如何安排生产可使总费用最小？,平面曲线的弧长,何谓曲线的长 ？,内
5、接折线长的极限,弧微分公式,解,解,（四）旋转体的侧面积,用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的 侧面积近似,解,三、物理应用,（一）引力问题,解,向量加法,解,（二）变力做功问题,解,（三）静力矩和质心,1. 质点系的质心,质量微元,2. 平面曲线的质心,3. 平面薄板的质心,解,解,二、无穷区间的广义积分,第二十一讲 广义积分,三、有穷区间无界函数的 广义积分,一、背景,有界函数,一、背景,解,二、无穷区间的广义积分,（一）定义,定义1：,类似地可以定义,定义2：,解,证,三、有穷区间无界函数的广义积分,（一）定义,定义1：,奇点 瑕点,证,结束放映,再见！,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,
