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1、 跟踪知识梳理考纲解读：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.考点梳理：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只
2、有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类相交直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该
3、点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面4.直线与平面所成角1直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |. 5.二面角1求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小， (2)如图2、3，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小(或)核心能力必练一、选择题1(2018安徽黄山二模,4)下列说法中,错误的是( ) A.若平面平面,平面平面=l,平面平面=m,则lm B.若平面平面,平面平面
4、=l,m,ml,则m C.若直线l平面,平面平面,则l D.若直线l平面,平面平面=m,直线l平面,则lm 【答案】C【解析】对于A,由面面平行的性质定理可知为真命题,故A正确;对于B,由面面垂直的性质定理可知为真命题,故B正确;对于C,若l,则l或l,故C错误;对于D,由线面平行的性质定理可知为真命题,故D正确.综上,选C.2(2018河南洛阳二模,4)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.m,n,且,则mn B.m,n且,则mn C.m,n且,则mn D.m,n且,则mn【答案】B 3(2018湖北重点中学协作体4月联考,5)设m,n是平面内的两条不同直
5、线,l1,l2是平面内两条相交直线,则 的一个充分不必要条件是( ) A.l1m,l1n B.ml1,ml2 C.ml1,nl2 D.mn,l1n【答案】B【解析】由ml1,ml2及已知条件可得m,又m,所以;反之,时未必有ml1,ml2,故“ml1,ml2”是“”的充分不必要条件,其余选项均推不出,故选B. 4(2017中原名校联盟4月联考,4)已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A.且m B.且m C.mn且n D.mn且n 【答案】C【解析】对于选项A,且m,可得m或m与相交或m,故A不成立;对于选项B,且m,可得m或m或m与相交,故
6、B不成立;对于选项C,mn且n,则m,故C正确;对于选项D,由mn且n,可得m或m与相交或m,故D不成立.故选C. 5.(2018湖南衡阳3月模拟,7)设、是空间两个平面,m、n、l是空间三条直线,则下列四个命题中,逆命题成立的个数是( ) 当n时,若n,则 当l时,若l,则 当n,且l时,若l,则nl 当n,且l是m在内的射影时,若nl,则mn. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 6设是两个平面，是两条直线，有下列三个命题：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么.其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】对于，则可能相交，垂直，
7、平行，故错误；对于，因为，所以，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确.故选C.7下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面B. 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C. 平行于同一个平面的两个平面D. 垂直于同一个平面的两个平面【答案】C【解析】A错在没有说明两条直线相交，如果是两条平行线就不能证明两个平面平行，B也是一样，也有可能是无数条平行线，也不能说明两个平面平行，D中的两个平面有可能相交，只有C成立，故选C.8给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面
8、相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】D【解析】这两条直线缺少“相交”这一限制条件，故错误；中缺少“平面内”这一前提条件，故错误9设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】A 10已知空间三条直线若与异面，且与异面，则 （ ）A与异面 B与相交C与平行 D与异面、相交、平行均有可能【答案】D【解析】m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2）， 11已知是两个不同的平面，为两
9、条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】A中可能平行，相交或直线在平面内；B中两平面可能平行也可能相交；C中由面面垂直的判定可知结论正确；D中两平面可能平行也可能相交. 12已知异面直线与所成角为60，过空间内一定点且与直线所成角均为60的直线有（ ）A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条【答案】C 13如图，为正方体，下面结论错误的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 异面直线与所成的角为60【答案】D【解析】在正方体中与 平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此，B正确；与B同理有与，垂直，从而平面，C正
10、确；由知与所成角为45，D错故选D14正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】连接交于点，连接，则为与平面所成角.设，则，所以，故选A. 15如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A与是异面直线 B平面C D平面A1EB【答案】C 16已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，则下列四个命题中不正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】D【解析】对于A，成立，故A正确；对于B，故B正确；对于C，又，故C正确；对于D，当直线在平面内时，成立，但题设中没有，故D不正确，故选D.二、填空题17在如
11、图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为_. 【答案】 18将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，其中与在平面的同侧则异面直线与所成的角的大小是 【答案】【解析】设点在下底面圆周的射影为，连结，则，为直线与所成角(或补角)，连结，为正三角形，直线与所成角大小为. 19已知平面，直线，给出下列四种说法：（1）若，且，则；（2）若相交且都在外，则；（3）若，且，则；（4）若，则；以上说法正确的有_【答案】（2）（4） 20如图，长方体中，点，分别是，的中点，则异面直线与所成的角是 【答案】【解析】连接，由于，所以即为所求，满足勾股定理，故 21在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方
12、形的中心，分别为侧棱的中点，有下列结论：平面； 平面平面； 直线与直线所成角的大小为.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】 三、解答题22如图，四棱锥中，底面为矩形，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）若分别为棱中点，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （2）因为，平面，所以平面，所以四棱锥的体积，又分别为棱中点，所以，所以23如图，直三棱柱中，分别是和的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积 【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）证明：取的中点，连结，因为是的中点，所以，且，由直棱柱知，且，又是的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面 24.如图，直三棱柱的底面为正三角形，、分别是、的中点（1）若，求证：平面；（2）若为中点，四棱锥的体积为，求三棱锥的表面积 【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，又，所以平面，则， 连接，易知四
