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1、弹性力学补充内容一,1-1 弹性力学中的几个基本概念,1-2 弹性力学中的基本假定,研究内容:弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。,任务:解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。,研究方法仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。,1-1 弹性力学中的几个基本概念,基本概念：,外力、应力、形变、位移。,1. 外力,体力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1) 体力, 弹性体内单位体积上所受的外力, 体力分布集度,（矢量）,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1) F 是坐标的连续分布函数；,(2) F 的加载
2、方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等),(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,(2) 面力, 作用于物体表面上的外力, 面力分布集度（矢量）, 面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),说明：,(1) F 是坐标的连续分布函数；,(2) F 的加载方式是任意的;,(3) 的正负号由坐标方向确定。,2. 应力,(1) 一点应力的概念,内力,(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1) P点的内力面分布集度,(2) 应力矢量.,-P点的应力,的极限方
3、向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,应力的法向分量, 正应力,应力的切向分量, 剪应力,单位:,与面力相同,MPa (兆帕),应力关于坐标连续分布的,(2) 一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合, 称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的垂线线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,与材力中剪应力正负号规定的区别：
4、,规定使得单元体顺时针的剪应力为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题,3. 形变,形变 物体的形状改变,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变度量,用剪应变度量,（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1) 一点形变的度量,应变的正负：,线应变：,伸长时为正，缩短时为负；,剪应变：,以直角变小时为正，变大时为负；,(2) 一点应变状态, 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变,其中,应变无量纲；,4. 位移,注：,一点的位移 矢量S,应变分量均为位置坐标的函数，即,S,位移分量：,u x
5、方向的位移 分量；,v y方向的位移 分量；,w z方向的位移 分量。,量纲：m 或 mm,弹性力学问题：,已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,应力与体力、面力间的关系(平衡)；,（2）几何学关系：,形变与位移间的关系；,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,1-2 弹性力学中的基本假定,1. 连续性假定,整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。,作用：,使得、u 等量表示成坐标的连续函数。,保证,中极限的存在。,2. 线弹性假定,假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力
6、与应变间成线性比例关系（正负号变化也相同）。,比例常数 弹性常数（E、）,脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；,塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。,3. 均匀性假定,作用：,可使求解方程线性化,假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。,作用：,弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；,取微元体分析的结果可应用于整个物体。,4. 各向同性假定,假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。,作用：,弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；,金属 上述假定符合较好；,木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；,符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。,5. 小变形假定,假定位
7、移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。,作用：,建立方程时，可略去高阶微量；,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,使求解的方程线性化。,1-3 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪
8、应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，
9、则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,1-4 斜面上的应力 主应力,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量: s,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得
10、：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。, 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,2. 一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；,当 时，有,求解得：,（2-7）, 平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1
11、， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）最大、最小剪应力,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,小结：,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,
