《者微分中值定理与导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《者微分中值定理与导数的应用（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立,例如,二、
2、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在a, b 上连续,在(a, b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,拉氏,证毕,推论: 若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,格朗日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,
3、(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,费马(1601 1665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.,拉格朗日
4、(1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都可直接或,间接地追溯到他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的是为巴黎综合学校,编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积分,在几何上的应用 等,有思想有创建,广泛而深远 .,对数学的影响,他是经典分析的奠基人之一,他为微积,分所奠定的基础推动了分析数学的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,三、其他未定
5、式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),例. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,洛,洛,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,证: 仅就极限,存在的情形加以证明 .,(洛必达法则),例 求,解:,原式,若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则 !,即,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后
6、人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,第三节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,在开区间 I 内可导,例. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调减区间为,的单调减区间为,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1)
7、 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,拐点,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,例. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,对应,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解: 1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,
