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1、本章主要内容 序列的傅里叶变换的定义和性质 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系 序列的Z变换 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,信号和系统的两种分析方法： (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换； (2)时域离散信号和系统 信号用序列表示； 系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；,2.1 引言,时域分析方法和频率分析方法,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.1 序列傅
2、里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,求FT的反变换， 用e jm乘上式两边， 并在-内对进行积分， 得到,因此,傅里叶变换对,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT,设N=4， 幅度与相位随变化曲线如下图所示,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立 结论： (1) 序列的傅里叶变
3、换是频率的连续周期函数，周期是2。 (2) X(ej)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。 (3) 在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT,M为整数,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,2. 线性 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么,设：,则：,式中a, b为常数,),改变相位,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,4. FT的对称性 (1) 共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足： 将xe(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭： 得到：,xe(n)=x
4、*e(-n),xe(n)=xer(n)+jxei(n),x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n),实部是偶函数,虚部是奇函数,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(2) 共轭反对称序列 共轭反对称序列满足： 将x0(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭： 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到,xo(n)=x*o(-n),xo(n)=xor(n)+jxoi(n),x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n),实部是奇函数,虚部是偶函数,xor(n)=xor(-n) xoi(n)= xoi(-n),2.2
5、 序列的傅里叶变换的定义和性质,例1 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭： 根据上面两式， 得到,x*(-n)=xe(n)-xo(n),x(n)=xe(n)+xo
6、(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(4) 频域函数X(ej)的对称性 任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) Xe(ej) = X*e(ej) Xo(ej) =X*o(ej),Xe(ej), Xo(ej)和原频域函数X(ej)的关系,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,给了我们求共轭对称与共轭反对称的方法,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到: X(e j)=Xe(
7、e j)+Xo(e j) 结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。,xi(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和 其中： 将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej) 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej) 。,x(n)
8、=xe(n)+xo(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw),FT,FT,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,(6) 研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。 所以其FT具有共轭对称性。 即： H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数，虚
9、部是奇函数 即 ：HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系 h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2h(n) + h(-n) ho(n)=1/2h(n) - h(-n) 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) 说明：实因果序列可以完全仅
10、由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例2 x(n)=anu(n),0a1,求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n),2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,例2：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw). 解, HR (ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw + 0.5 ejw = he(n) e-jwn,根据实因果序列特性，h(n)=he(n)
11、U+(n),根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)= h(n) e-jwn =1+e-jw,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,5. 时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n) 则：Y(e j)=X(e j)H(e j) 证明： 令：k=n- m,则,m,m,定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,6. 频域卷积定理 设：y(n)=x(n)h(n) 则： 证明：,x,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质,7. 帕斯维尔Parseval定理,）,定理说明：信号时域的总能量等
12、于频域中的总能量。,证明：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,周期序列不满足绝对可和条件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展开成离散傅里叶级数，当引入奇异函数，其FT可用公式表示。 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 1. 周期序列的离散傅立叶变换(DFS变换) 设 是以N为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的形式： 式中ak是傅里叶级数的系数，为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数，所以系数 也是周期序列，ak=a k+lN，令：,式中:,因此
13、:,n,周期序列的离散傅里叶级数,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2、周期序列离散傅立叶反变换(IDFS变换) 如上式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到,由于：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,总结：一个周期为N的周期序列DFS变换对为,意义：表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度为 ，基波分量的频率是2/N， 幅度是,一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延
14、拓， 得到如图所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照DFS变换公式,幅度特性表明周期序的DFS : 与N有关； 在频域中是个离散的周期序列,j,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2， 即 在时域离散系统中，对于x(n)=e jon，2/o为有理数，其FT也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，由于n取整数，下式成立,在02r处的单位冲激函数,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,对于一般周期序列 ，其离散傅里叶级数为： 对其进行傅里叶变换： 如果
15、让k在之间变化， 上式可简化成：,奇异函数,其中：,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例2:求例1中周期序列的FT。 解：将例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到,对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线)，所以，周期序列的频谱分布用其DFS和FT表示都可以,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例3 令 ，2/0为有理数，求其FT。 解： 欧拉公式展开 表明:cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓。,2,2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,模拟信号xa(t)傅里叶变换对,序列x(n)的傅里叶变换对,x(n)=xa(nT),提出问题： (1) 序列的傅里叶变换X(ej)与模拟信号的傅里叶变换Xa(j)之间有什么关系。 (2) 数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系。,时域关系,2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,t=nT,w=T,2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,结论： 离散信号可看作模拟信号的采
