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1、第四节 极限运算法则,一、无穷小与无穷大,二、极限的运算法则,拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.,牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.,的理论称为“无穷小量分析”.,常常把整个变量,欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论.,即所谓无穷小量.,都可以转化为一种简单而重,要的变量,数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实
2、际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。,1. 定义,极限为零的变量称为,无穷小量,简称,如,无穷小是指,函数变化的趋势.,无穷小.,一、无穷小,在某个过程中,定义1,记作,1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;,2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.,“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.,“无限制变小的量”,3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个
3、无穷小的代数和未必是无穷小.,例1,解,先变形再求极限.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,例2,证,证明,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,再如,是无界函数,但不是无穷大.,因为取,而取,当
4、,所以,f (x)不是无穷大!,注：无穷大量是变量，在变化过程中可以变得大于任意给定的正数，反映了函数的一个变化趋势；二无界量实质函数绝对值可以大于事先给定的正数M，是一个数值概念，不反映函数的变化趋势。,证,例,的图形的,铅直渐近线(vertical asymptote).,铅直渐近线,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论., 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;, 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;, 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之 积仍为无穷大;, 用
5、无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.,容易证明,例,解,四、极限运算法则,定理1,证,由无穷小运算法则,得,有界，,注,此定理对于数列同样成立,此定理证明的基本原则：,(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数, (2)有两个重要的推论,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,定理的条件：,存在,商的情形还须加上分母的极限不为0,定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商,定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立,定理2,那末,如果,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理可由,前面的定理直接得出结论 .,定理3,证,由定理1(1),由保
6、号性定理,即,故,有,有,注意,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是有限个函数,它们的极限,商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,都存在,五、求极限方法举例,解,例,小 结,则有,则有,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,例,得,解,例,消去零因子法,再求极限.,方 法,分子,分母的极限都是零.,先约去不为零的无穷小因子,例,解,无穷小因子析出法,分子,分母的极限均为无穷大.,方 法,先用,去除分子分母,分出无穷小,再求极限.,先将分子、分母同除以x 的最高次幂,无穷小分出法,以分出,再求极限.,求有理函数当,的极限时,无
7、穷小,小 结,例,解,例,解,先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.,使和式的项数固定,原式=,不能用运算法则.,方 法,例,解,不满足每一项极限都存在的条件,不能直接,应用四则运算法则.,分子有理化,x = 3 时分母为 0 !,解,练习,练习,解,原式=,解,原式=,设函数,是由函数,与函数,复合而成,有定义,若,且存在,有,则,定理4,六、复合函数的极限运算法则,证,有,对上述,有,取,故,取,证,及,同时成立,即,化为,如果函数,满足该定理的条件,那么作代换,可把求,此定理表明：,极限过程的转化,例,求极限:,解,可看作,与,复合而成.,并且,因而,例,解,原式=,故,无穷小
8、与无穷大是相对于过程而言的.,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3） 无界变量未必是无穷大.,七、小结,3.极限的四则运算法则及其推论;,4.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？,为什么？,(1),（2）,A. 无穷小量,B.无穷大量,C. 有界量非无穷小量,D.无界但非无穷大量,试确定常数,使,(3),（4） 求,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？,解答,没有极限,假设,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,有极限，,为什么？,(1),无界，,不是无穷大,试确定常数,解,令,则,使,即,(3),4. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,作业,习题1-4 (41页),1. 2 (1) . 6.,习题1-5(48页),1（偶）2. 3.,
