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1、谓词逻辑：基本概念,1.1个体词与谓词 1.2量词 1.3量词的辖域 1.4 全称量词不表示存在，存在量词表示存在 1.5多个量词,问题的提出,命题逻辑特点：研究复合命题之间的推理时，只将复合命题分析到简单命题，不再对简单命题内部成分进行细分。 例1 文学家的著作都是有价值的， 鲁迅是文学家， 所以，鲁迅的著作是有价值的。 例2 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪， 有些罪犯不是故意犯罪， 因此，有些罪犯是过失犯罪。,p,q,r,p q r,重言式？,问题出现在哪里？,谓词逻辑的特点：对简单命题内部结构进行进一步 的划分，区分出个体词、谓词和量词等非命题成分。,1.1 个体词与谓词,个体
2、词： 表示个体的符号。 种类：有个体常项（元）和个体变项（元）之分。 个体常项：是表示某个论域中的一个特定个体的符号，也就是它所表示或指称的那个个体的名字；用小写英文字母a、b、c、表示。 个体变项：是不表示某一确定论域中的特定个体的个体的符号，用小写英文字母x、y、z、表示。,谓词：是表示个体的性质和个体之间关系的符号。 种类：个体的性质也称一元关系，表示个体的性质即一元关系的称为一元谓词。两个个体之间的关系称为二元关系，n个个体之间的关系称为n元关系。表示二元关系的符号为二元谓词，表示 n元关系的符号为 n元谓词。 如“是素数”就是一元谓词；“大于”是二元谓词；“在之间”是三元谓词。 谓词
3、用大写英文字母F,G,H表示。,例3 （1）柏拉图是哲学家。 （2）苏格拉底是哲学家。 （3）黑格尔是哲学家。 （4）某人是哲学家。 （1）（4） 谓词都是：“是哲学家”（一元谓词），表示一个个体的性质； （1）（4）的个体词分别是： “柏拉图”（个体常项）、 “苏格拉底” （个体常项） 、 “黑格尔” （个体常项） 、“某人” （个体变项）。 Z：“是哲学家” a:“柏拉图” b：“苏格拉底” c:“黑格尔” x：“某人”,Z(a),Z(b),Z(c),Z(x),例4 贾宝玉爱林黛玉。 谓词是“爱”（二元谓词），表示两个个体之间的关系；个体词“贾宝玉”、“林黛玉”分别表示确定的个体，是个体常
4、项。 H： “ 爱” a: “贾宝玉” b: “林黛玉”,H(a,b),谓述关系PK对象处于概念之下,例子：贾宝玉爱林黛玉 传统主谓式分析 贾宝玉是爱着林黛玉的 弗雷格的分析 对象 概念 对象 贾宝玉 爱 林黛玉,7,例 5 武汉位于上海与重庆之间 谓词是“位于之间”（三元谓词），表示三个个体之间的关系；个体词“武汉” 、 “上海” 、 “重庆”分别表示确定的个体，是个体常项。 T：“位于之间” a：“武汉” b：“上海” c:“重庆”,T(a,b,c),注意：个体词出现的顺序不能随意更换,注意：单独的个体词和谓词不能构成命题， 将个体词和谓词分开不是命题。,单独一个谓词不具有完整的意义。 Z
5、： “是哲学家” H：“爱” T:“位于之间”,“是哲学家”,“爱”,“位于与之间”,Z(x):“是哲学家”,H(x,y):“爱”,T(x,y,z):“位于与之间”,Z(x)真？假？,H(x,y)真？假？,T(x,y,z)真？假？,注意：Z(x)、H(x,y)、T(x,y,z) 这些包含个体变项的表达式不是命题，没有真假。相当于一个函数式，其值随着个体变项的值而确定。,弗雷格的概念是什么,弗雷格概念的三个特征： 含空位，不完整； 空位填入自变元后随自变元的取值产生一个值； 该值为真或假。 弗雷格的结论： 概念总是一个其值为真值的函数.,10,包含个体变项的表达式不是命题，没有真假。相当于一个函
6、数式，其值随着个体变项的值而确定。 a：“柏拉图” b：“鲁迅” Z(a) 为真 Z(b) 为假 a：“贾宝玉” b：“林黛玉” c：“薛宝钗” H(a，b) 为真 H(a，c)为假 a：“武汉” b：“上海 c:“重庆” T(a，b，c)为真 d: “漳州 ” e：“厦门” f:“泉州” T(d，e，f)为假,在谓词逻辑中，公式的符号化需要注意 同一个符号，比如F，在不同的公式中可以表示不同元数，但在一个复杂的公式中，同一符号的几处出现是同一个谓词。 个体词也一样。 F(x) F(x,y) 一般地陈述n个个体间有某关系的简单命题的形式，用一个 n元谓词符号后面跟n个个体词的公式表示,该公式为
7、: F(x1,x2,xn)。,练习： （1） 地球是行星。 （2） 中国是发展中国家。 （3） 5是素数 （4） 9不是素数。 （5）小张和小李是同乡。 （6）3大于2。 （7）贾宝玉不爱薛宝钗。,1.2 量词,量词：表示个体数量的词。 种类：有全称量词和存在量词之分。 全称量词：表示所有的个体都具有相关谓词表示的性质或关系，用符号“”表示。 例如 所有阔叶植物是落叶植物。 符号“”后跟一个个体变项(比如x),表示为(x)，读作：“对任一x”，“所有x”。 存在量词：表示存在（即至少有一个）个体具有相关谓词表示的性质或关系，用“”表示。 例如有的水生动物是肺呼吸的。在符号“”后跟一个个体变项（
8、比如x），表示为(x)，读作：“有一x”，“存在一x”。 日常语言中的“所有”、“一切”、“凡”等表示全称量词,“有的”、“有”、“至少有一”等表示存在量词。,在一个公式前面加上量词，称为量化式,如( x)F(x)和( x)F(x)，就分别称为全称量化式和存在量化式。 ( x)F(x)表示“对于所有x而言，x是F,即一切事物都是F”； ( x)F(x)表示“至少有一个x,x是F,即有一（有些）事物是F”。,对任一事物，它是变化的。 “任一事物”指个体事物，不确定，用个体变项表示。 对任一事物x，x是变化的。 （有了x，“事物”可以省略）引入谓词，即 对任一x，B(x)。 “任一”是对个体x的限
9、制，即全称量词，用表示 (x)B(x）,（1）所有事物都是变化的,至少有一个事物，它是变化的。 “一个事物”不确定，用个体变项x表示。 至少有一个事物x，x是变化的。 “事物”可以省略，再引入谓词，得到 至少有一个x，B(x)。 “至少有一个”是对个体x的限制，即存在量词，用表示 (x)B(x),（2）有事物是变化的,(1) 在不同论域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变。 (2) 在考虑命题符号化时，如果对论域未作说明，一律使用全总个体域(所有能被思考的对象组成的域,简称全域). (3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.,论域：个体变项的取值
10、范围，也称为个体域。,谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：,例6 每个自然数都是整数。 如果论域是自然数集合N I：是整数 命题的表达式为 (x)I(x)。 如果论域扩大为全域时，上述表达式(x)I(x)表示“所有对象都是整数”，显然这是假命题，此表达式已经不能表达原命题了。 对任一对象，如果它是自然数，那么它是整数。 N：是自然数 命题的符号表达式为 (x)(N(x)I(x) 论域可根据需要做特定的限制；如果不做特殊限制，则指全域。,例7 有些大学生吸烟。 如果论域是大学生集合 X(x)：x吸烟 命题的表达式为 (x)X(x) 。 如果论域扩大为全域时，上述表达式(x)X(x) 表示“有些对
11、象吸烟”，就不是表示此命题了。 至少存在一个这样的对象，它是大学生，并且它抽烟. S(x)：x是大学生 命题的表达式为 (x)(S(x)X(x)。,例8 所有的迷信都不是科学。 论域为全域 M(x)：x是迷信 K(x)：x是科学 此命题表达了 对任一对象，如果它是迷信，那么它不是科学。 (x)(M(x) K(x) 例9 有的新闻报道不是真实的。 论域为全域 X(x)：x是新闻报道 Z(x)：x是真实的 此命题表达了 存在一对象，它是新闻报道，但它不是真实的。 (x) ( X(x) Z(x),传统命题A、E、I、O四类命题的量化形式 A命题：“所有S是P”， 量化形式：(x)(S(x)P(x)；
12、 E命题：“所有S不是P”， 量化形式：(x)(S(x)P(x)； I 命题：“有S是P”， 量化形式是：(x)(S(x)P(x)； O命题：“有S不是P”， 量化形式是：(x)(S(x)P(x)。,1.3 量词的辖域 量词的辖域：指一量词后的最短公式，表示一个量词在一个公式中的作用范围。 约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域。括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式就是该量词的辖域，其他的则不是。 例10 (x)A(x) (x)S(x) (x)(P(x)Q(x)(y)R(x,y) (x)F(x) G(x) (x)(F(x) G(x) (x)(y)(z
13、)(A(x,y)B(x,y,z)C(t),约束变项与自由变项 在相关量词的辖域中出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。 在同一个表达式中，同一个个体变项既可以作为约束变项出现，也可以作为自由个体变项出现。 一个体变项在它的量词辖域中出现，称为约束出现；否则，称为自由出现。 一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。 一个体变项在一公式中既可以是自由的也可以是约束的。,1.4 全称量词不表示存在，而存在量词表示存在 注意：全称量词的表达式是蕴
14、含式，而存在量词的表达式是合取式。 例6 每个自然数都是整数。 表达式：(x)(N(x)I(x) 它的含义是：对于每个个体x，如果x是自然数，那么x是整数。 它的含义仅限于此。至于作为自然数的个体x是否存在，在表达式中没有得到体现，即表达式没有断定这样的x存在，也没有断定它不存在。 思考：这样的表达式是否准确表达了自然语言中全称量词的原意呢？ 例如，所有的偷税漏税行为都是可耻的。 预设了偷税漏税行为是存在的。预设主项存在是全称命题形式自身具有的，还是语言的使用者另外附加的？换句话说，所有的S都是P这个命题形式本身，是否包含了S是存在的这一预设呢？,例11 牛顿定律：所有不受外力作用的物体都保持
15、匀速直线运动。 仅仅断定了：对所有物体而言，如果它不受外力作用，那么它保持匀速直线运动。 至于不受外力作用的物体是否存在，没有得到断定。换句话说并没有预设这样的物体存在。 事实上，这样的物体是不存在的。如果全称命题预设了主项存在，牛顿定律将成为明显的假命题。 全称命题并不预设主项存在。不过是语境附加的。,例7 有些大学生吸烟。 命题的表达式为 (x)(S(x)A(x) 含义是：至少存在一个个体x，x是大学生并且x吸烟。 ？(x)(S(x) A(x) 含义是：至少存在一个个体x，如果x是大学生，则x吸烟。作为大学生的x是否存在，没有得到断定。显然不符合命题的含义。有些大学生吸烟，首先断定大学生是存在的。,1.5 多个量词 例12 所有参观者喜欢所有展品。 包含两个全称量词。 第一个量词的表达：对任一事物x，如果x是参观者，那么 第二个量词的表达，对任一事物y，如果y是展品，那么 对任一事物x，如果x是参观者，那么对任一事物y，如果y是展品，那么x喜欢y。 C(x)：x是参观者 Z(x)：x是展品 X(x,y)：x喜欢y (x)(C(x) (y)(Z(y) X(x,y) 量词前移 (x) (y)(C(x) (Z(y) X(x,y) 两个公式等值,例1
