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1、第三章 导数,3.1.1曲线的切线,问题1 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力。想想看，为什么？,情境1下图是一段登山路线。,问题2 “陡峭” 是生活用语，如何量化线段BC的陡峭程度呢？,情境2 某市2008年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.,以3月18日作为第一天，温度随时间变化的图象如左图,平均变化率的定义：,一般地，函数 在区间 上的平均变化率为,说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1, f(x1) ),(x2, f(x2) ) 连线的斜率.,作用:,(2)平均变化率等于函数值的增量与自变量 的增量之比，亦即：,问题4如果将上述气温
2、曲线看成是函数y = f(x) 的图象, 则函数y = f(x)在区间1，34上的平均变化率为 在区间1， x1上的平均变化率为,o,1,34,x,y,A,C,y=f(x),x1,f(x1),f(1),f(34),一.曲线的切线,如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点，PQ为曲线C的割线，,PM/x轴,QM/y轴， 为PQ的倾斜角.,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,如何求曲线上一点的切线?切线,(1)概念:曲线的割线和切线,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PT就是P点处的切线.,Q,o,x,y,y
3、=f(x),(2)如何求割线的斜率?,曲线在点P处的斜率,例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：,（1）求y；,求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程.,例2:已知 ,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.,利 用 割 线 求 切 线,练习1： 求曲线 在点 处的倾斜角,练习2:如图,已知曲线 , 求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物 体在t到t+t这段时间内的平均速度为,二
4、、瞬时速度：,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时的平均速度的极限；,例3: 物体作自由落体运动,运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，. 求：,(1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m
5、/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,练习: 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.,求瞬时速度一般可以分为三步：,（1）求s；,（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线的定义；,小结：,能求曲线在点P处切线的斜率及方程；,（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度,能求某时刻的瞬时速度,备用:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,
