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1、,第四节,一、曲线的凹凸性与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的渐近线,曲线的凹凸性与拐点,第三章,函数作图,三、函数作图,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,一、曲线的凹凸性与拐点,如图所示曲线弧,在区间(a, b)内虽然一直上升,但却有不同的弯曲状况.,弧,是向上凹的,曲线在切线的上方,弧,是向上凸的,曲线在切线的下方,而B是弯曲状况的,分界点.,定义1 在区间(a,b)内,连续曲线,如果曲线弧位于其任意一点切线,的上方,则称曲线弧在(a,b)内是凹的(或凹弧),此区间,(a,b)称为凹区间;,如果曲线弧位于其任意一点切线,的下方,则称曲线弧,此区间,(a,b)称为凸区间;,在
2、(a,b)内是凸的(或,凸弧),定义2,y =f (x)上凹弧与凸弧的分界点,称为曲线y =f (x)的拐点 .,定理2.(曲线凹凸性的判定定理),(1) 若在(a,b)内,则曲线y=f (x)在(a,b) 内是凹的 ;,(2) 若在(a,b)内,设函数,在区间(a,b)内有二阶导数,那么,一阶导数判单调 二阶导数定凸凹,若,定理 设函数,则 在 (a,b)内单调递增,(递减) .,在开区间 (a,b) 内可导,回顾前面所学,即,则曲线y=f (x)在(a,b) 内是凸的.,例1. 判定曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,内是凸的.,例2. 判定曲线,在(0,2)内的凹凸性.,解:,令,得,当
3、,时，,曲线,是凸的；,当,时，,曲线,是凹的.,点,是曲线,的一个拐点.,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得求拐点的步骤如下:,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,求拐点的步骤如下:,(1) 确定函数y = f (x)的定义域;,(2) 求出使,的点和,不存在的点;,(3) 对于(2)中求出的每个点x0,考察,在点x0左、右,两侧邻近的符号,如果两侧的符号相反,则点,是拐点;,如果两侧的符号相同,则点,不是拐点.,例4. 求曲线,的凹、凸区间与拐点.,解 定义域：,不存在,
4、因此,曲线的拐点 ：,凹区间:,凹,凸,令,得x =3,不存在的点为x =2,2,凸,3,0,4,凹区间:,凸区间:,列表,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上的凹凸分界点,.,1. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,作业 P128：第一题,;,;,思考与练习,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、 曲线的渐近线,定义3 若曲线 y =f (x)上的动点M 沿着曲线无限远离坐标,原点时,则称直线 L 为,曲线y = f (x)的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,渐
5、近线分为水平渐近线、铅直渐近线,和斜渐近线三种.,定义4,(1)若,则称直线y = b为曲线y = f (x)的一条水平渐近线.,(2)若,则称直线 x = x0为曲线y = f (x)的一条铅直渐近线.,(3)若,则称直线 y = ax +b为曲线y = f (x)的一条斜渐近线.,并由此可推得,例5. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为铅直渐近线.,该曲线无斜渐近线.,例6. 求曲线,的渐近线 .,解:,所以该曲线有铅直渐近线,又因,为曲线的斜渐近线 .,所以该曲线没有水平渐近线.,一阶导数判单调 二阶导数定凸凹,三、函数作图,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性等特性
6、;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别单调及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 补充函数图形上的若干特殊点,为 0 和不存在的点 ;,并考察其奇偶性、周,找出f (x)的间断点,6. 综合上述分析 , 描绘出函数的图形.,(如与坐标轴的交点等);,例7. 作函数,的图形.,解: 1) 定义域为,函数无周期性,2),3)列表,(拐点）,(极小),4) 曲线无渐近线,为奇函数,故只需作出区间0,+)上的图形.,得,得,它的图形关于原点对称,所以,6) 作图,5) 特殊点:,曲线与坐标轴的交点为,例8. 作函数,的图形.,解: 1),定义域为,2),又x =3为f (x)的
7、间断点.,定义域内无,不存在的点和,不存在的点.,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),无定义,5) 求特殊点:,为铅直渐近线,为水平渐近线,无斜渐近线,4) 求渐近线,曲线与坐标轴的交点为,6）作图,例9. 作函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,水平渐近线 ; 铅直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行.,2. 函数作图,思考与练习,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,P128：第3题,作业,
