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1、第二讲 MATLAB的数值计算, matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位,数值运算的功能,创建矩阵 矩阵运算 多项式运算 线性方程组 数值统计 线性插值 函数优化 微分方程的数值解,一、命令行的基本操作,创建矩阵的方法 直接输入法 规则： 矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔,a=1; b=2; c=3; x=5 b c; a*b a+c c/b x= 5.000 2.000 3.000 2.000 4.000 1.500 y=2, 4, 5; 3 6 8 y= 2 4 5 3 6 8,矩阵元素可以是任何ma
2、tlab表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数I，j 输入。大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2; sqrt(3) 3+5i,矩阵元素,符号的作用,逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。 分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。 当一个指令或矩阵太长时，可用续行,冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。 用于选出矩阵指定行、列及元素。 循环语
3、句,2.用matlab函数创建矩阵,空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。 rand 随机矩阵 eye 单位矩阵 zeros 全部元素都为0的矩阵 ones 全部元素都为1的矩阵 diag 产生对角矩阵,例 eye(2，3) zeros(2，3) ans= ans= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ones(2，3) ans= 1 1 1 1 1 1 V=5 7 2；A=diag(V) A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2,例 eye(2) ans= 1 0 0 1 zeros(2) ans= 0 0 0 0 ones(2) ans= 1 1 1 1
4、,例 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成mn的二维矩阵。,也可用linspace函数产生行向量。其调用格式为： linspace(a, b, n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。 例 a=linspace(1 , 10 , 10) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵(magic)、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。 注意：matlab严格区分大小写字
5、母，因此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。,3.用m文件创建矩阵,对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。 例 利用M文件建立MYMAT矩阵。,(1) 启动有关编辑程序或Matlab文本编辑器，并输入待建矩阵。 (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3) 在Matlab命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。,4.用冒号表达式创建矩阵,利用冒号表达式可以线性等间距地建立一个向量来创建矩阵 一般格式是：e1:e2:
6、e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 或者为：（start: step: end） 例 a=1:2:10 a= 1 3 5 7 9,5. 矩阵的修改, 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 来修改。,例如 a=1 2 0;3 0 5;7 8 9 a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 0 3 0 5 7 8 0,把Matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。 save 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。,二、数据的保存与获取,默认
7、文件名,save data将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。 save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。 下次运行Matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。,load load data load data a b mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。,即可恢复保存过的所有变量,矩阵加、减（,）运算 规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,三、矩阵运算,2. 矩阵乘（）运算 规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的
8、行数 标量可与任何矩阵相乘 a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b c =14 32 23,d=-1;0;2; f=pi*d f = -3.1416 0 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算。,两种除法：和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则AB和B/A运算可以实现。 AB等效于A的逆左乘B矩阵，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵。 对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般ABB/A。,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,3. 矩阵乘方 an,ap,
9、pa,对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 ap使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5 ans = 0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 -
10、0.1611i 2.3134 + 0.2717i,inv 矩阵求逆 det 行列式的值 eig 矩阵的特征值 diag 对角矩阵 矩阵转置 sqrt 矩阵开方,4. 矩阵的其它运算,5. 矩阵的范数,矩阵范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算矩阵V的 2范数。 (2) norm(V,1)：计算矩阵V的1范数。 (3) norm(V,inf)：计算矩阵V的范数。,6.矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:左右翻; flipud:上下翻 矩
11、阵的抽取 diag:抽取主对角线;(对于非方阵的情况?) tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角，然后其余补零元素 矩阵的扩展,关系运算,关系运算符的运算法则,当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。,(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数
12、与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。 注意：其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。,数组运算指元素对元素的算术运算， 与通常意义上的由符号表示的线性代数 矩阵运算不同。 数组加减(.+,.-) a.+b a.- b,7. 矩阵的数组运算,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,2. 数组乘除(，./，.） ab a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; b=2 4 6;1 3 5;7 9 10; a.*b ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; b=2 4 6;1 3 5;7
13、9 10; a*b ans = 25 37 46 55 85 109 85 133 172,a./b=b.a a.b=b./a a./b=b.a 都是a的元素被b的对应元 素除， “/”是斜杠 a.b=b./a 都是b的元素被a的对应元 素除， “”是反斜杠 例: a=1 2 3;b=4 5 6; c1=a.b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000, 给出a,b对应元素间的商.,3. 数组乘方(.) 元素对元素的幂 例: a=1 2 3;b=4 5 6; z=a.2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a
14、.b z = 1.00 32.00 729.00 (1 .4 2 .5 3 .6),matlab语言把多项式表达成一个行向量， 该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an 可用行向量 p=a0 a1 an-1 an 表示 poly 产生特征多项式系数向量 特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1,四、 多项式运算,例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的系数 matlab描述方法，我们可用： p1=pol
15、y2str(p,x) 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x3 - 6 x2 - 72 x 27 注意：多项式中缺少的幂次用0补齐。,2.roots 求多项式的根,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a) p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p)-求由p构成的多项式的根 r = 12.12 -5.73 显然 r是矩阵a的特征值 -0.39,当然我们可用poly令其返回多项式形式(这是poly的第二个功能) p2=poly(r) p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,P=poly(r),输入r
